バランスの取れたベクトルの迅速なエンコード

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これは、いずれかのことを見ることは容易である 1-1のマッピングが存在する {0,1}から {0,1}にいずれかのようなベクトルです"バランス」、つまり1と0の数が等しい。そのようなを定義して、与えられたが効率的に計算できるようにすることは可能ですか？ $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

ありがとう。

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— ピオトル
ソース

「効率的」とはO（n）またはその周辺を意味し、「反復ランダム試行」の議論を除外すると思いますか？

— Suresh Venkat

@シュレシュ、「繰り返されたランダムな試行」の議論をスケッチすることができますか？

— 2010

マッピングが存在することを証明する1つの方法は、確率論的方法です。Fをランダムに選択すると、マッピングはある程度の確率で機能します。それが私が意味したことです。

— Suresh Venkat

1

質問は完全に明確ですが、私の意見では、タイトルは誤解を招くものです。Fが全単射でない限り、私は前述の条件を満たすマッピングFを「バランスの取れたベクトルのエンコーディング」とは呼びません。これは、平衡ベクトルによる nビット文字列のエンコードに似ています。

— 伊藤剛

「完全に明確」から「効率的に」の異なる解釈まで。しかし、これは私の以前のコメントの要点ではありません。

— 伊藤剛

回答:

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$n$ $x$

$f(x,i)$ $x$ $i$
$b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

$x$ $g(i) = b(f(x,i))$

$g(0) = b(x)$
$g(n) = -g(0)$
$|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

$i$ $-1 \le g(i) \le +1$

$(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

$O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— ジュッカスオメラ
ソース

3行目のb（x）はb（y）である必要があります。

— 2010

文字列xに別のビットを追加して、長さが均等になるようにする必要があると思います（一部のiでg（i）がゼロであることを確認できるようにするため）。

— 2010

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

@Jukka：ああそうだね。

— 2010

1

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

9

$k$ $n$ $n/2$ $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
ソース

1

また、二項係数の値を再利用して、次に必要な二項係数を計算すると、アルゴリズム全体がO（n）時間で実行されます。

— 伊藤剛

ありがとう！意味あり。実行時間は計算モデルに依存すると思います。単位時間でnビット数の演算を実行できる場合、伊藤剛による実装はO（n）時間で実行されます。一方、ビット操作を数えると時間はO（n ^ 2）になると思います。

— Piotr

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