型システムに表現力の階層はありますか？

複雑性理論に存在する広範な階層に触発され、そのような階層が型システムにも存在するのではないかと思いました。ただし、これまでに見つけた2つの例は、どちらも階層（連続してますます表現力豊かな型システムを使用）ではなく、チェックリスト（直交機能を使用）に似ています。

私が見つけた2つの例は、ラムダキューブとkランクの多型の概念です。1つ目は3つのオプションを持つチェックリスト、2つ目は実際の階層です（ただし、kの特定の値に対してkランクが付けられていることはまれです）。私が知っている他のすべての型システムの機能は、ほとんど直交しています。

私は自分の言語を設計しているので、これらの概念に興味があり、現在の既存のタイプシステムの中でどのようにランク付けされているか非常に興味があります（私の知る限り、タイプシステムはやや型破りです）。

「表現力」の概念は少し曖昧かもしれませんが、それはなぜ型システムがチェックリストのように見えるのかを説明するかもしれません。

型システムに必要な「表現力」にはいくつかの感覚があります。

1. 特定の型システムで表現できる数学関数。たとえば、単純に型付けされたラムダ計算では、すべての計算可能な関数を表現できるわけではありません。Systemについても同じことが言えますが、厳密に多くの関数を表現できます。チューリング完全言語用の型システムを取得したら、これはあまり面白くありません。$F$

2. システムは、システム作成されたすべてのプログラムを型チェックできます。これは基本的に、codyの最初の強さの概念がPTSについてのものです。繰り返しますが、すべてのSTLCプログラムはSystemタイプされるため、この順序ではSystemはSTLCよりも強力です。同様に、サブタイピングを使用したシステムは、使用しないシステムよりも強力になります。B F $A$$B$$F$$F$

3. システムに入力するプログラムがシステムに入力できるようにするローカル変換（Felleisenの論文、プログラミング言語の表現力）がありますが、その逆はありません。 $A$$B$

4. ある型システムは、他の型システムよりも強いプロパティを保証しますか。たとえば、線形型システムは、より多くのプログラムを拒否するだけですが、それにより、受け入れているプログラムについてより強力なステートメントを作成できます。

残念ながら、@ codyが説明しているように、Barendregtのラムダキューブを除き、これらの概念を分類または形式化する作業が行われたとは思わない。

私は確かに私はあなたの質問に満足のいく答えを持っていないんだけど、あなたはやや時代遅れの概要を見つけることができる場合はラムダ・キューブ（徹底的にシステムの一般化を発見されたピュアタイプシステムズ、考えれば古典Barendregtテキストには）次に、階層の自然な概念がいくつかあります。

1. $\Gamma\vdash_A\ t\colon T$$\Gamma\vdash_B\ t\colon T$$\Gamma, t$$T$$*\colon *$$(*,*,*)$PTSは、他のすべてのPTSからのモルフィズムがあるという意味で。これは、最終的なPTSが最も表現力のあるシステムである型システムの表現力の尺度として見ることができます。

2. $A$$B$$A$$F_\omega$$ECC$$\leftrightarrow$