集合和集合を使用したコンセンサスクラスタリング

私はこの質問を少し前にMathOverflowに投稿しましたが、私の知る限りではまだ開いているので、誰かがそれを聞いたかもしれないことを期待してここに再投稿しています。

問題文

LET、および 3つのに区画することが空でない部分（で表さの、 'sおよびセットの「S）{ }。を最小化する2つの順列およびを見つけます $P$ $Q$ $R$ $p$ $P_h$ $Q_i$ $R_j$ $1,2,\ldots,n$ $\pi$ $\sigma$

\sum_{i = 1}^{p} | P_{i} \cup Q_{π_{i}} \cup R_{σ_{i}} | .

$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$

ご質問

1）この問題（または対応する決定問題）の複雑さは何ですか？

2）問題が実際に多項式時間で解ける場合、のパーティションの数については真のままですか？ $k\geq 4$

前作

Berman、DasGupta、Kao、Wang（http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008）はパーティションについて同様の問題を研究していますが、上記のの代わりにpairwiseを使用しています和。立方体グラフのMAX-CUTを問題の特殊なケースに減らし、を与えることにより、各部分に2つの要素しかない場合でも、場合、問題がMAX-SNP-hardであることを証明します。 -任意の近似。これまでのところ、私は文学の中で私の問題を見つけることができず、その証拠を適合させることができませんでした。 $k$ $\Delta$ $\cup$ $k=3$ $(2-2/k)$ $k$

簡単なサブケース

以下は、多項式時間で解けることがわかったいくつかのサブケースです。

ケース ; $k=2$
任意のに対しての場合。 $p=2$ $k$

さらに、場合、2つの部分が等しくなく、すべての部分のサイズがであるため、下限は（タイトかどうかはわかりません）。 $k=3$ $2$ $3p+1$

co.combinatorics np-hardness

— アンソニー・ラバレ
ソース

問題はNP困難です。証明は、次の問題の軽減によるものです。

三者間グラフ所与と各部分の頂点がある頂点互いに素な三角形で？ $G$ $N$ $N$ $G$

ここで還元は次のとおりインスタンス所与上記の問題の、聞かせ、、各部分の頂点の集合を表す、およびとの間のエッジの集合であると。また、各部分の頂点にます。 $G$ $A_1$ $A_2$ $A_3$ $G$ $E_{ij}$ $A_i$ $A_j$ $1,\dotsc,N$

問題のインスタンスを構築します、ここでは大きな数（たとえば、）、およびです。最初の要素はのエッジに対応します。パーティション以下のように定義される：するため有する辺の集合である番目頂点のそのエンドポイントの1つとして。明らかにこれらのセットは互いに素であり、それらの和集合はです。はそれ以外のすべて、つまり、 $n = |E(G)| + M$ $M$ $M = 10 |E(G)|$ $p = N + 1$ $|E(G)|$ $\{1,\dotsc,n\}$ $G$ $P$ $P_i$ $i=1,\dotsc,N$ $i$ $A_1$ $E_{1,2} \cup E_{1,3}$ $P_{N+1}$ $E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$ 。同様に、我々は定義用いの代わり、及び用い代わりに。 $Q$ $A_2$ $A_1$ $R$ $A_3$ $A_1$

さて、このインスタンスのコストの解決策は最大は、に連結三角形がある場合にのみ。これを確認するには、まずが大きいため、コストが未満のソリューションはすべてをおよびマッピングする必要があることに注意してください。これはすでに説明しています総コストのなので、が残ります。ここで、各と各の交差点は最大で1であることに注意してください（とについても、についても同様です $3|E(G)| - 3N + M$ $G$ $N$ $M$ $2 M$ $P_{N+1}$ $Q_{N+1}$ $R_{N+1}$ $|E(G)| + M$ $2 |E(G)| - 3 N$ $P_i$ $Q_j$ $P_i$ $R_k$ $Q_j$ および）。したがって、これらの交点がすべて同時に1になる可能性がある場合、目的関数は最小化されます。これは、独立三角形に対応します。 $R_k$ $N$ $G$

— モハンマド
ソース