帰納的構成の計算と直観主義型理論の関係と違いは何ですか？

タイトルで述べたように、CICとITTの関係と違いは疑問です。誰かがこれら2つのシステムを比較するいくつかの文献を説明したり指摘したりできますか？ありがとう。

すでにある程度答えましたが、タイプ理論の地平線のより詳細な概要をお伝えします。

私は歴史の詳細について少し曖昧なので、より多くの情報に通じた読者は私を許さなければなりません（そして私を訂正してください！）。基本的な話は、カリーが単純型付きコンビネータ（または項）と命題論理の間の基本的な対応を明らかにしたことです。影響力のあるAutomathシステム。$\lambda$

Automathシステムは教会の単純型理論の改良版であり、それ自体は、ラッセルとホワイトヘッドの型理論を宇宙と還元性の公理で劇的に単純化したものでした。これは1960年代までに比較的よく知られた論理的な地形でした。

対応する消去ルールを決定します。その後、彼はそのような判断に基づいて非常に強力な基礎システムを提供し、ごく少数の構文構造を使用して、Automathに類似した基礎システムを提供できました。ジラールはこのシステムが矛盾していることを発見し、マーチンロフが「ラッセルスタイル」の述語宇宙を採用するよう促し、理論の表現力を厳しく制限し（還元性の公理を効果的に除去することにより）、それをわずかに複雑にしました（しかし、一貫性を保ちます）。

しかし、論理シンボルの定義を可能にするエレガントな構造は機能しませんでした。そのため、MLは誘導的に定義されたファミリーとして異なる形式でそれらを導入しました。これは非常に強力なアイデアです。計算科学で見られるように、判断の平等性や論理演算子から自然数や機能データ型まですべてを定義できるからです。追加する各ファミリは、いくつかの公理を追加することに似ていることに注意してください。これらの公理は、各インスタンスで一貫性があるとして正当化する必要があります。このシステム（依存型+ユニバース+帰納的ファミリー）は通常、ITTと呼ばれるものです。

しかし、強力でシンプルな基礎システムは一貫性がなく、結果として得られるシステムはより複雑で、やや弱く、その中に現代の数学的フレームワークの多くを開発するのが難しいという意味で、いくらかの長引く不満がありました。監督のジェラルド・ヒュートとともに、建設の計算（CoC）を導入したティエリー・コカンドを紹介します。これは、これらの問題のほとんどを解決しました。証明とデータ型への統一アプローチ、論理的または数学的な多様性の。これは最終的に、Automathに代わる最新のシステムとして設計されたシステムの実際の実装に成熟し、私たちが知っている、愛するCoqシステムに至りました。

私は非常にお勧めこのティエリーは、型理論の歴史的発展についてのとんでもない金額を知っているし、おそらくあなたはまた、彼のチェックアウトする場合がありますI.よりもはるかに優れ、これを説明しているように、CoC認証の基礎紙の記事、それはないものの、型理論上をCHの対応について詳しく説明します。