最大ウェイトマッチングの一般化について調査しましたか？

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たとえば、最大の重みの一致を表示する1つの方法は、各頂点 $v$ が、一致したエッジの重みに等しいユーティリティ $f_v= w(e_v)$ を取得し、それ以外の場合はゼロを取得することです。

したがって、最大の重みマッチングは、目的を最大化すると見なすことができ $\sum_v f_v$ ます。

重み付けされた多変量または非線形を使用してより一般的な目的関数を検討する最大の重みマッチングの一般化が研究されました $f_v$ か？

別の方法で一般化されている他のバリアントが調査されましたか？

該当する場合は、参照を提供してください！

ds.algorithms graph-theory

明確化：実行可能なソリューションがマッチングであるという意味で一般化が必要ですか？しかし、目的関数は通常の最大重みのマッチング（安定した結婚の場合のようなもの）とは異なりますか？あるいは、実行可能な解決策がマッチングのある種の一般化または緩和でもあるという意味での一般化（独立したセットや部分的なマッチングのようなもの）？

— Jukka Suomela、2010

前者は、さまざまな目的関数に興味があります。

— Carter Tazio Schonwald 2010

ボーナスがNPのハードまたはコンプリートを回避するような素晴らしいポイント

— Carter Tazio Schonwald 2010

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上の最大重みマッチング上の最大重量独立集合に相当する線グラフの、および次のように書くことができます。 $G$ $G$

max_{x} \prod_{i j \in E} f_{i j} (x_{i}, x_{j})

$\max_{\mathbf{x}} \prod_{ij \in E} f_{ij}(x_i,x_j)$

ここで、は頂点の職業のベクトルですは、x = y = 1の場合は0を返し、x = y = 0の場合は1を返します。それ以外の場合は0ではないノードの重み。たとえば、と他の選択を許可することで一般化できます。たとえば、 $\mathbf{x}\in\{0,1\}^n$ $f_{ij}(x,y)$ $\mathbb{x}$ $f$

最大の適切なカラーリング $\mathbf{x}\in \{1,\ldots,q\}^n, f(x,y)=\delta(x-y)$
Isingモデルの基底状態 $\mathbf{x}\in \{1,-1\}^n, f(x,y)=\exp(J x y)$

任意の非負のを許可すると、これはギブス確率場で最も可能性の高い変数の設定を見つける問題となり、はエッジ相互作用ポテンシャルを表します。超グラフにさらに一般化すると、あなたの目的は $f$ $f$

max_{x} \prod_{e \in E} f_{e} (x_{e})

$\max_{\mathbf{x}} \prod_{e \in E} f_{e}(x_e)$

ここで、はハイパーエッジ（ノードのタプル）のセットであり、はハイパーエッジノードに対する制限です。 $E$ $x_e$ $x$ $e$

例：

デコードのエラー修正、 $\mathbf{x} \in \{1,\ldots,q\}^n, f(x_e)=\exp{\text{parity} (x_e)}$
ハイパーグラフ構造確率モデルにおけるMAP推論、任意の非負関数 $f$

別の方向に一般化すると、単一の最大マッチングではなく、最も重み付けされた最大マッチングを検索するとします。これは、確率モデルで最も可能性の高い説明を見つける特別な例です。目的は次のように書くことができます $m$ $k$

s o r t_{x} \prod_{e \in E} f_{e} (x_{i}, x_{j})

$sort_\mathbf{x} \prod_{e \in E} f_{e}(x_i,x_j)$

上記の目的の意味については、 [ Flerova、2010 ]を参照してください。

より一般的には、並べ替えではなく、またはを実数ではなく、一般的な可換半環と考えることができます。ここで、とは、結合法則と分散法則に従う抽象演算です。私たちが得る目的は今です $\prod$ $\max,\prod$ $(\cdot,+)$ $\cdot$ $+$

⨁_{x} ⨂_{e} f_{e} (x)

$\bigoplus_x \bigotimes_e f_e(x)$

ここで、、いくつかのハイパーグラフのすべてのエッジの上に取られる上に、ノード引き継がれる値のタプル、各かかり「sとと可換半円を形成します-リング $\bigotimes$ $G$ $n$ $\bigoplus$ $n$ $f_e$ $x$ $E$ $(\bigotimes,\bigoplus,E)$

例：

スピン相互作用モデルのパーティション関数：代わりに使用 $(*,+)$ $(\max,+)$
アーベル群に対する高速フーリエ変換：代わりにアーベル群を使用 $\mathbb{R}$

これらのすべての一般化をまとめると、上記の問題の特定のインスタンスに対する最もよく知られているアルゴリズムは、最も一般的なアルゴリズムと同じであることが多く、「一般化分布則」[ Aji、2000 ] と呼ばれることもあり、境界付きツリー幅ハイパーグラフの時間。 $O(1)$

これにより、上記の問題の正確な解決策が統一されたフレームワークに入れられますが、おおよその解決策のためのそのようなフレームワークが欠けています（そうでない場合は、それについてお聞きしたいと思います）。

— ヤロスラフ・ブラトフ
ソース

ありがとう！これは私が:)得るために望んでいた答えFO一種である

— カーターTazio Schonwaldの

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この問題には、より一般的な構造への拡張がいくつかあります。例えば：

マトロイドマッチング（講義ノート、マトロイドマッチングといくつかのアプリケーション、マトロイドマッチング：ローカル検索の力）
パスマッチング（パスマッチングの問題、マッチング、マトロイド、および拡張機能）
ハイパーグラフマッチング（適切な参照が見つからない）

一般に、これらの拡張はNPハードです。

— イアン
ソース

扱いにくい束の良い例は何ですか？

— Carter Tazio Schonwald 2010

扱いにくい特別なケースがいくつかあります。マトロイドマッチングは、線形マトロイド（上記の「マトロイドマッチングといくつかのアプリケーション」を参照）と、いくつかの重み付け関数（上記の「マッチング、マトロイド、および拡張」を参照）のパスマッチングで解決できます。

— イアン

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興味深い拡張機能の1つ（多分それはよく知られているかもしれません）は、（2分割の設定で）頂点を他の頂点に部分的に一致させることができるバリアントです。このバリアントはハンガリーのアルゴリズムを使用して解決することもでき、輸送問題として知られています（結果のメトリックは、輸送メトリック、地球移動距離、モンゲ-カントロビッチ-ヴァッサースタイン距離、またはマロー距離と呼ばれます。あなたが尋ねる）。

— Suresh Venkat
ソース

クール、私はその束を調べます。私はクールな何かがポップアップし、検討に値する場合に備えて、回答として選択する前に1日待つつもりです

— Carter Tazio Schonwald 2010

その間に

— 賛成投票を表明

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奇妙な目的関数とのマッチング問題として解釈できるさらに別の古典的な問題は、最小最大マッチングです。 $f_v$

ここでは定義でき次のように：場合比類のない、別の比類のないノードに隣接しています。が一致する場合は。そしてた場合に不一致が、任意の不一致ノードに隣接していません。 $f_v$ $0$ $v$ $n$ $v$ $n+1$ $v$

これで、目的関数は一致するが最大の場合、。それ以外の場合はより小さい。したがって、すべてのにわたってを最大化すると、最小の最大マッチングます。 $\sum_v f_v$ $n^2 + n - 2|M| \ge n^2$ $M$ $n^2$ $\sum_v f_v$ $M$ $M$

最小の最大マッチングを見つけることはNP困難な最適化の問題であるため、変装した通常の最大ウェイトマッチングの問題だけではないと、かなり安全に言えます。繰り返しますが、は、付随するエッジに制限された関数ではないという意味で「非ローカル」であることに注意してください。 $f_v$ $M$ $v$

— ジュッカスオメラ
ソース

この質問がCWであるかどうか疑問に思っています。これらの線に沿って任意に多くの例を生成できるようです。

— Jukka Suomela、2010

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最大重みのマッチング問題に簡単に還元できないものが必要な場合は、1つの例として、安定した結婚の問題があります。

1つの解釈は、安定した結婚の問題では、が頂点「安定性」であるというものです。が不安定なエッジ（ブロッキングエッジ）に入射する場合は、それ以外の場合はです。次に、目的はを最大化するマッチングを見つけること。（そして、これはゲイル・シャプレーアルゴリズムを使用することで解決できます。最適値は常にです。） $f_v$ $v$ $0$ $v$ $1$ $\sum_v f_v$ $|V|$

これの重要な性質それだけではなく、その上に入射エッジ依存することである一致しているが、また、上の隣人にエッジ事件の。 $f_v$ $v$ $v$

（編集：上記のプロパティは、偽の最大重みのマッチング問題だけではないものを取得するために不可欠です。実行可能なソリューションがマッチングであり、がに一致するエッジにのみ依存する場合は、エッジの重みを次のように定義できます：空の一致するを一致する置き換えると、どのくらい増加しますかこれは、エッジのみを含みます。これらの重みに対する最大重みのマッチングは、も最大化します。） $f_v$ $v$ $w(e)$ $e = \{u,v\}$ $f_u + f_v$ $M = \emptyset$ $M' = \{e\}$ $e$ $\sum_v f_v$

— ジュッカスオメラ
ソース

定義を拡張してませんか？たとえば、最大の重みの一致の場合、（はエッジvが割り当てられている）を使用しており、vがない場合はしています。

f_{v}

$f_v$

f_{v} = w (e_{v})

$f_v = w(e_v)$

e_{v}

$e_v$

f_{v} = 0

$f_v = 0$

— Carter Tazio Schonwald 2010

そして、w（e_v）はもちろんエッジe_vの重みです

— Carter

さて、あなたは安定した結婚問題の定義を知っていますか？通常、それは次のように定式化される：一致見つけなし「悪いエッジが」存在しないようにように好む彼の現在のパートナーに（もしあれば）と好む（もしあれば）彼女の現在のパートナーに。今定義次のようにしましょう場合「悪いエッジ」に入射し、そうでなければせ。解は、すべてのノードに対してである安定しています。

M

$M$

(m, w)

$(m,w)$

m

$m$

w

$w$

w

$w$

m

$m$

f_{v}

$f_v$

f_{v} = 0

$f_v = 0$

v

$v$

f_{v} = 1

$f_v = 1$

f_{v} = 1

$f_v = 1$

— Jukka Suomela、2010

Jukka、実際に欲しいのは、をその人のランキング設定の関数にすることです。たとえば、任意の場合、現在のマッチングが優先設定でどれだけ低いかを示す関数が減少します。おそらく私は何かを誤解しているかもしれません

f_{v}

$f_v$

f_{v}

$f_v$

— Carter Tazio Schonwald 2010

@カーター：あなたの定義で、最適化問題（これは最大重みマッチング問題の単なる特別なケースです）を解決する場合、「総幸福」を最大化します。しかし、これはあなたが安定した結婚問題であなたが望むものではありません！安定したマッチングは、必ずしも全体の幸福度を最大化するものではなく、ソリューションの安定性を最大化します。

— Jukka Suomela、2010

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LovaszとPlummerによる本では、多くの変形と一般化が検討されています。

— は
ソース