コンピューターが何かを証明するのがなぜそんなに難しいのですか？

これはばかげた質問と考えられます。私はコンピューターサイエンスの専攻ではありません（また、数学の専攻でもありません）。以下の質問にいくつかの主要な誤った仮定が表示されていると思われる場合はご容赦ください。

Fermatの最終定理を公式化する計画がありますが（このプレゼンテーションを参照）、コンピューターがピタゴラスのような「単純な」定理さえ証明できることを読んだり聞いたことはありません。

何故なの？一部の「組み込みの公理」によってのみ支援される、コンピューターによって完全に自律的な証明を確立することの背後にある主な困難は何ですか。

2番目の質問は、次のとおりです。コンピューターが単独で定理を証明することは現在不可能であるのに、なぜ多くの証明を形式化できるのですか？なぜそれが「難しい」のですか？

Fermatの最終定理（このプレゼンテーションを参照）を形式化する計画はありますが、コンピューターがピタゴラスのような「単純な」定理さえ証明できることを読んだり聞いたことはありません。

1949年、タースキーは、要素のほとんどすべてが論理の決定可能な断片の中にあることを証明し、実際の閉じた場の1次理論の決定可能性を示しました。したがって、特にピタゴラスの定理は、それほど難しくないため、あまり語られていません。

一般に、定理証明を困難にするのは帰納法です。帰納法を使用しない1次論理には、サブ数式プロパティと呼ばれる非常に便利なプロパティがあります。真の数式は、Aのサブタームのみを含む証明があります。これは、証明するように指示された定理の分析に基づいて次に証明するものを決定できる定理証明者を構築することが可能であることを意味します。（量化子のインスタンス化により、部分式の正しい概念をもう少し微妙にすることができますが、これに対処する合理的な手法があります。）$A$$A$

ただし、帰納スキーマを公理に追加すると、このプロパティが壊れます。真の式の唯一の証明は、構文的にAの部分式ではない証明Bを実行する必要がある場合があります。紙の証拠でこれに遭遇したとき、「帰納法の仮説を強化する」必要があると言います。適切な強化には、ドメイン固有の重要な情報と、特定の定理を証明している理由の理解の両方が必要になるため、これはコンピューターにとって非常に困難です。この情報がなければ、関係のない一般化の森で、本当に関連のある一般化が失われる可能性があります。$A$$B$$A$

2つの主な困難。不完全性（ゲーデルの不完全性定理を参照）および検索空間の広大なサイズ（興味深いものよりも非常に興味のない定理があります）。証明アシスタント（Coq、Isabelle、Agdaなど）を使用してかなりの進歩がありました。これらを使用して、数学者は定理と補題を書き、証明アシスタントは証明を見つけるのを助け、証明が論理的に有効であることを保証します。

$P$$Q$$P\wedge Q$

この論文では、証明アシスタントCoqを使用して4色の定理を証明する方法を説明します。機械化された数学（概要）は、（半）自動定理（および一般に数学者を支援するためにコンピューターを使用）に特化したTCSの1つの領域です。

（ある種の）自動定理証明が影響を与えている1つの分野は、モデルのチェックとモデルの発見です。モデル検査では、特定のシステムが特定のプロパティを満たしているかどうかを判断します。一方、モデル検出では、特定のプロパティのコレクションを満たすシステムを見つけます。ツールAlloyは、モデルのチェックとモデルの検出を有効に活用しており、非常に便利です。