単純な（？）面白い組み合わせの問題！

$0<E<1$ および整数を修正しましょう $t>0$ 。

いずれかのための $n$ と、任意のベクトルに対して $\bar{c} \in [0,1]^n$ よう $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

文が真であるか偽であるかはわかりません。本当だと思う。

私の直観は、ベクトル $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ （合計に関して適切な特性を持つ）について、 $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ ; この場合、セットからのみサブセットを選択できます $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$ 。

他の場合では、の座標を使用して適切なサブセット（合計がより大きい $E \times t$ ）を作成できますが、おそらく、セット他の良いセットを作成できます！ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

だから、それを証明するか、バグを見つけてください！あなたにとって面白いゲームになることを願っています！

質問の動機：

ランダム変数があるとします存在する「どれくらいのランダム性」の典型的な尺度は、最小エントロピーです $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

いくつかの直感的な意味では、最小エントロピーは有名なシャノンエントロピーの最悪のケースです（平均的なケースです）。

我々は、確率変数の最小エントロピーを下界に興味を持っている uniformelyセットにわたって分布されている。 $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

大まかに言えば、運が良ければ「良いエントロピー」を持つのビットをキャッチできるので、ならば $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

私たちが幸運である確率はどのくらいですか？

問題はよく研究されたものであり、多くの文献が存在します。たとえば、補題A.3を参照してください。有界検索モデルにおける漏洩耐性公開鍵暗号の改良

co.combinatorics it.information-theory

— アントニオ・ファ
ソース

用語と混同してい。同様に、必ずしもそれがどのように定義されるかの整数、ではないのですか？

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— デイブクラーク

動機は何ですか？

— アンソニーラバレー

@Dave Clarke、標準的なアプローチは、ガンマ関数または（が整数である場合）の観点からとして定義すること。

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— ピーターテイラー

二項係数は、非整数の引数に一般化できます（Wikipediaページには、かなりの詳細が記載されています）。これは、しかし、この場合には必要ではないかもしれない：の合計極値場合にはこれを証明するのに十分である。なお等しい（すなわちそれらの平均です）。

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— クラウスドレーゲル

@デイブ：私の不正確さについてすみません、私の観点から選択できます。

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— AntonioFa

投稿の推測は成り立たないが、コメントで言及された（フロアに関して）より弱い推測は成り立つ。実際、より強力なものが成り立ちます。

補題1. 投稿の推測は成り立たない。つまり、という前提を満たすインスタンスがあります。

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

証明。、、、およびのインスタンスを考えます。それから。左側には、両方の1の合計を含まないサブセットは最大1.7であり、両方の1を含むサブセットは2つ（および）のみであるためです。そして、右側は $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

コメントで示唆されたより弱い推測、すなわち、床の境界が成立します。実際、わずかに強いものが成り立ちます： $\lfloor E\, n \rfloor$

補題2. 、整数、およびベクトルを修正し。その後、 $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

証明。ましょう。WLOGをと仮定します。（それ以外の場合、と各一定の係数で縮小します。これにより、維持され、少なくとも合計されるサブセットも、そのようなサブセット）WLOGを仮定する（そうでなければクレームが自明に成り立ちます）。 $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

少なくとものサイズのサブセットを考えます。ここで、です。以降及び全てほとんどで含ま要素（それぞれが最大で1である）、我々は、必要に応じて。 $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

そのようなサブセットの数は $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ （を使用） $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

ただし、（）であるため、最後の合計は少なくとも適切なサブセットの数の望ましい下限です。 $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— ニール・ヤング
ソース