約実行のコスト。スキップ四分木における最近傍探索

注：質問は私の答えに修正再表示されている：我々は最低兄弟先祖を見つけることができる今と仮定すると、時間、ANNは本当にして行うことができるO （ログN ）？$O(1)$$O(\log n)$

四分木は効率的な空間インデックスです。[2]で説明されているように、圧縮四分木構造での最近傍探索の実装に関するパズルがあります。（詳細については説明しませんが、検索はいわゆる等距離の四角形に沿ってトップダウンで行われ、等距離パスのテールノードで終わります。添付画像では、これは点で満たされた南東のノードのいずれかである可能性があります。）

それらのアルゴリズムが機能するためには、各ノード（少なくとも2つの空でない象限がある正方形）の4つの方向（北、西、南）のそれぞれの最下位（階層内で最も近い）の祖先ノードのポインターを維持する必要があります、東）。これらは、ノードの西向きの祖先の緑色の矢印で示されます（矢印は祖先の正方形の中心を指しています）。

この論文では、これらのポインタはポイントの挿入と削除中にO（1）で更新できると主張しています。ただし、緑のポイントの挿入を見ると、任意の数のポインター（この場合は6つ）を更新する必要があるようです。

私はこのポインタの更新を一定の時間で行うトリックを望んでいます。たぶん、悪用される可能性のある間接の形式があるのでしょうか？

編集：

論文の関連セクションは6.3で、「パスに曲がりがある場合、の最下位の祖先に加えて、方向ごとに最下位のルートも考慮する必要があります。その方向に向かう祖先[...] 各方向の最も近い祖先を指す各正方形に追加のポインターを関連付ける場合、からこれらの正方形を見つけることは、正方形あたり時間で実行できます。これらのポインタは、点の挿入または削除中に時間で更新することもできます。 "$log(c/ε)$$q$$2^d$$q$$q$$O(1)$$2^d$$Q_0$$O(1)$

[2]：Eppstein、D。とGoodrich、MTとSun、JZ、「スキップ四分木：多次元データ用の単純な動的データ構造」、計算幾何学に関する第21回年次シンポジウムの議事録、pp。296—305 、2005年。

デビッドと同様に、ジョナサンが2 ^ dポインターについてその発言をした理由はわかりません。それらは必要ありません。Davidが前述したように、本質的なプロパティは、Q_0でリーフvへのポイントロケーションを行う場合、スキップクワッドツリーの兄弟ノード（およびそのボックス）を覚えておけば十分です。Pからのボックスを処理するとき、クエリポイントに最も近いリーフボックスのポイントロケーションを実行し、下に移動するときに兄弟ボックスを挿入します。これは多かれ少なかれあなたの答えと同じだと思われます。さらに、この手順は、たとえば、次の論文でおおよその点の位置がどのように行われるかと非常に似ています。 「近似最近傍探索固定次元の最適なアルゴリズム」、JACM、1998。

スキップ四分木は、Zオーダーに従ってポイントを格納するデータ構造のスキップリスト実装と考えることができます。（おそらく）少なくとも概念的には単純です...

ここの第2章を参照してください：http : //goo.gl/pLiEO。

そして、はい、一定の時間でいくつかの基本的なZオーダー演算を実行できると仮定すると、ANNは必ず対数時間で実行できます。前述の章では、圧縮された四分木が必要な場合に、奇妙な演算を回避する方法がないことも示しています。LCA操作は必要ないことに注意してください...

また、これらのポインターがなくても生活できると直感的に感じます。ある時点ですべてのノードをハードディスクに永続化する必要があるため、ポインターの削減は非常に大きくなります。

私の考えはおおよそ次のとおりです。最適な候補点（リーフ）除いて、各ラウンドでの最悪の距離も追跡します。最悪の距離は、が正方形の内部か外部かに関係なく、ノードすべてのコーナーからクエリポイントまでの距離の最大値になります。$l_{best}$$r_{max}$${dist}'(v,q)$$q$$v$$v$

ラウンドは次のようなものですが空の場合は、返されます。それ以外の場合、delete-minはの現在のをます。を初期化し（最適な候補がまだ観察されていない場合は、設定します）。最初に、空でない子をそれぞれテストし。この子がリーフである場合、必要に応じておよび更新します。場合ノードで計算および、後者は、最良の距離である：ゼロか、もし$P$$l_{best}$$p_0$$Q_0$$r_{max}$$l_{best}$$\infty$$p_0$$Q_0$$q$$l_{best}$$r_{max}$$q$${dist}'(q,v)$${dist}(q,v)$$v$内にある、またはすべてのコーナーの最短距離に。$q$$q$$v$

場合、忘れ、そうでなければそれを維持します。保持されるノードの数が場合、それらのノードをプッシュします。ラウンドの終わり。${dist}(q,v) > r_{max}$$q$$\geq 2$$P$

それ以外の場合は、元の検索に似て進む：検索に対応するノード、可能な限り最高で、そしてそこから始まります。ここでも、代わりに前の手順に従って、テストのすべての子供たちに下降に等距離子を求めての、つまり、最適な距離がを超えるものをスキップします。このテストの後に子供が残っている場合は、子供に降りて繰り返します。子供が残っていない場合は、して繰り返します。テストがで実行された場合、ラウンドは終了します。$q$$p_0$$Q_j$$r_{max}$$Q_{j-1}$$Q_0$

現時点では、これがすべての可能なケースで最近傍を見つけることが保証されているかどうかも、元のアルゴリズムと同じように機能するかもわかりません。また、初期化で十分かどうか。そして、の優先順位は何ですか？それでも最良の距離は？$r_{max}$$P$

編集（2013年4月）

このようなノードに降下しても現在のクエリ形状の範囲によってカバーされる領域が変化しないという特性に基づいて、ノードを等価にするのではなく、「等価」ノードの定義を使用する上記のアルゴリズムを明確化して、さらに実験を行いました。$r_{max}$

残念ながら、パフォーマンスがラウンドに低下する病理学的ケースを構築できます（下の画像を参照してください。クエリポイントは下中央です）。$O(\sqrt n)$

定理13で主張されているラウンドの最大数を確認するために、最下位の兄弟の祖先がブルートフォースで検索される（O（1）バリアントを見つける前に）平衡化ベースのアルゴリズムを実装しました：。$O(\epsilon^{1−d}(\log n+\log \epsilon^{−1}))$

以前の回答の「病理学的」例を使用しています。2次元の平方根の辺の長さは512で、中心座標は（256、256）です。座標は整数で与えられ、単純なます。ポイントは、ルート平方を横切って水平方向に等間隔で配置され、クエリポイントは（256、511）にあります（512は既にルート平方の外側にあることに注意してください）。$\epsilon = 1$$v$

以下の図では、完全なツリーが示され、この例のポイント数は16です。青い正方形の輪郭は、優先キューにプッシュされた対象の正方形を示し、中央の数字は、それらが押されます。発見された葉の点には、それらが説明された丸い番号も表示されます。3つの透明な青い円は、1回目、2回目、7回目のラウンド後の既知のNN半径を示します（最も近い隣人は最初に7回目のラウンドで見られます）。合計12ラウンドがあります（最後の6つだけがキューから正方形をポップしますが、新しい正方形は追加しません）。$Q_0$

私はこの例を、一連のますます大きくなる平方根とポイントの数で実行しましたが、ポイントの間隔は同じままでした（32）。これにより、図からすでに直観的にわかるものが確認されました。アルゴリズムにはラウンドが必要ですが、および定理13 は、ラウンドのみが必要であると述べています。d=2ϵ=1O（logn$O(\sqrt n)$$d = 2$$\epsilon = 1$$O(\log n)$

したがって、重要なものが欠けていなければ、アルゴリズムは指定された速度を達成できません。コメントやアイデアはありますか？