巨大な指数/定数を持つ多項式時間アルゴリズム

（入力長+出力長）で多項式時間で実行されるが、同じメジャーでの漸近的な実行時間は本当に巨大な指数/定数（少なくとも、実行時間の証明された上限はそのような方法）？

規則性補題に基づくアルゴリズムは、ひどい定数を持つ指数時間アルゴリズムの良い例です（指数またはリーディング係数として）。

Szemerediの規則性補題は、頂点の任意のグラフで、頂点をセットのペア間のエッジが「疑似ランダム」であるセットに分割できることを示しています（つまり、十分に大きいサブセットの密度はランダムグラフの密度のように見えます） 。これは非常に優れた構造であり、結果としてパーティションを使用するアルゴリズムがあります。問題は、パーティション内のセットの数が、疑似ランダム性のパラメーターの指数タワーであることです（http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemmaを参照）。$n$

規則性補題に依存するアルゴリズムへのリンクについては、たとえば、http： //www.cs.cmu.edu/~ryanw/regularity-journ.pdfを参照してください。

SODA 2013からのお知らせ：マックスバイセクション問題は、約時間で約0.8776以内に近似しています。$O(n^{10^{100}})$

以下は、Jason H. Cantarella、Erik D. Demaine、Hayley N. Iben、James F. O'Brien、SOCG 2004による、リンクを開くためのエネルギー駆動型アプローチからの 2つのスクリーンショットです。

これは、エリック・D・デメイン、マーティン・L・デメイン、ヤー・N・ミンスキー、ジョセフ・S・B・ミッチェル、ロナルド・L・リベスト、ミハイ・パトラススクによるFUN 2012紙のピクチャーハンギングパズルの最近の結果です。

n本の釘の周りにロープを巻き、多項式のねじれを作ることにより、写真を吊るす方法を示します。これにより、n本の釘のうちk個が削除されるたびに写真が落下し、k本未満の釘が削除されると写真がハングしたままになります。

「多項式数」にだまされないでください... ことがわかります。$O(n^{43737})$

解を計算するのが難しい問題のクラスが存在しますが、任意の定数ε に対して（1 + ϵ ）以内に解を近似できる多項式時間アルゴリズムがあるという意味で、任意の精度に近似するのは簡単です 0しかし、キャッチがあります：approximatorsの実行時間がに依存してもよい1 / ε、かなりひどくなどを、可能O （nは1 / ε）。$(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$O(n^{1/\epsilon})$

：ここではより多くの情報を参照してくださいhttp://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial-time_approximation_schemeを。

そのようなアルゴリズムの実行時間は、その後改善されてきたが、凸状体から点をサンプリングするための独自のアルゴリズムは、ランタイムた。$\tilde{O}(n^{19})$

ダイアー、フリーズ、カンナン：http : //portal.acm.org/citation.cfm?id=102783

場合平板モーダル又はsuperintuitionisticロジックで、その後の拡張フレーゲと置換フレーゲプルーフシステムLは、（これはで定理5.10である多項式等価であり、多項式忠実に解釈古典EFで本稿鉱山の）。指数C多項式シミュレーションを明示的定理5.10に記載されているが、定理の誘導証明を与えるされていないC = 2 O （| F |）、Fが生成有限のクリプキフレームであるLが、それはのように巨大であることができるので、必要に応じて、ロジックに応じて。（定理5.20では悪化します。）$L$$L$$c$$c=2^{O(|F|)}$$F$$L$

マップグラフ（平面グラフの一般化）を認識するための現在最もよく知られているアルゴリズムは、実行されます。ソープ、多項式時間でグラフをマップします。$n^{120}$

Arrow-Debreu市場の均衡の計算には、最大フロー計算が必要です。ここで、Uは最大効用です。Duan、Mehlhorn、線形矢印デブリュー市場向けの組み合わせ多項式アルゴリズム。$O(n^6\log(nU))$$U$

砂山過渡問題

次のプロセスを検討してください。厚いタイルを取り、その上に砂粒を一粒ずつ落とします。ヒープが徐々に蓄積し、その後、砂の大部分がタイルの端から滑り落ちます。砂の粒子を追加し続けると、ある時点の後、ヒープの構成が繰り返されます。その後、構成は繰り返し行われます。つまり、以前に見られた状態を再訪し続けます。

上記のプロセスについて次のモデルを検討してください。タイルをグリッドとしてモデル化します。砂の粒子は、このグリッドの頂点にドロップされます。頂点のパーティクルの数が次数を超えると、頂点が崩壊し、その中のパーティクルが隣接する頂点に（カスケード方式で）移動します。境界の頂点に到達した砂の粒子は、シンクに消えます（「落ちる」）。これはAbelian Sandpile Modelとして知られています。$n \times n$

問題：砂の粒子を落とすための最悪のアルゴリズムを想定して、に関して構成が再発するのにどれくらい時間がかかりますか？$n$

ではSODA '07、ラスズロ・ババイとイゴールGorodezkyは多項式有界するために、この時間を証明したが、..

でSODA '12、アユシュChoure及びサンダーVishwanathanは、このバウンドを改善。$O(n^7)$

この答えは、改善のためでなければ少し良く見えるでしょう:)

「凸の頭蓋骨」の問題は、与えられた単純な多角形の中に最大面積の凸多角形を見つけることです。この問題で知られている最速のアルゴリズムは、時間で実行されます[Chang and Yap、DCG 1986]。$O(n^7)$

$O(n^6)$

いくつかの非構成的アルゴリズムがあります。最も顕著なのは、フェローズとラングストンとクールセルの定理です。

また、ツリー幅のBodlaenderの線形時間アルゴリズムとCourcelleの定理は、実用的でないことで有名です。

$G$$O(n^3)$$H$$n$$G$$G$

http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_minor_theorem#Polynomial_time_recognition

$O(n^{11})$

ポリゴンrectangulation、パート2：脂肪矩形の最小数、VLSIにおける懸念によって動機付け矩形パーティションの問題の実用的な変形が提示されます。

$P$$\delta$$P$$\delta$

$O(n^{42})$

$O(2^n)$$n$$n \choose 1$$n \choose 2$$n \choose 3$$O(n^c)$$c$$n \choose c$$c$$\mathsf{P \neq NP}$

[1] マトリックス剛性の計算に関する質問

$c$$O(n^c)$$n \choose c$$\mathsf{P \neq NP}$