マトリックス充填の可解性

行列次元はn × n （n − 1 ）です。からまでの整数を使用してを埋めます。$A$$n \times n(n-1)$1 $A$$1$$n$

要件：

1. 各列は、順列です。1 、… 、$A$$1, \dots, n$
2. 2行で形成される部分行列は、同じ列をことはできません。$A$

質問：

要件を満たすマトリックスを埋めることは可能ですか？

暗号化との関係：

各行番号はプレーンテキストに対応しています。各列はキーに対応しています。キーはインジェクションを定義するため、各列は順列でなければなりません。2番目の要件は、2つのメッセージの完全な機密性です。

剛、コメントで素晴らしい観察！これで問題はほぼ解決したと思います。

次の2つの質問を検討してください

1. 長さ行 が存在するため、どの列にも数が2回現れず、行の各ペアについて、列によって指定されたすべての順序付けられたペアが区別されますか？n （n − 1 $k$$n(n-1)$
2. 行のペアごとに、列で指定されたすべての順序付けられたペアが異なるように、長さ行 が存在しますか？n $k$$n^2$

ツヨシのコメントによると、質問（1）で値を達成できれば、質問（2）でも同じ値を達成できることがわかります。ここで、質問（2）の値を達成できる場合、質問（1）の値を達成できることを示します。したがって、これら2つの質問に対する答えはほぼ同じです。k k k − $k$$k$$k$$k-1$

$1$$n$$\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$$k-1$$n$$k-1$

$k$$n^2$$k-2$ $3$$4$$\ldots$$k$$j$$i$$j$$i$

$n$$n$$n-2$$n$$n=6$$k$$k=\Omega(n^c)$$c$$1$

$n=6$$k$$6\times 6$$n=10$$k=4$

これは部分的な解決策です。nが素数の場合、このような行列が存在します。

してみましょうFは、オーダーの有限フィールドでのn。我々は、コンストラクトNを × N（N -1）、その行によって標識される行列Fを持つカラム（によって標識され、F ∖{0}）× F、及びそのエントリにあるF、以下のように：私の行目を（a、b）というラベルの付いた列はai + bで与えられます。つまり、各列はFの 1次多項式に対応します。次に、各列にはFの各要素が含まれます 2つの異なる次数1の多項式の値は多くても1つの点で一致する可能性があるためです。

（あなたは、そのエントリにあるマトリックスが必要な場合、{1、...、N }代わり中のFの要素交換Fを用いて、{1、...、N }を任意）。