コイン交換の漸近性

コイン与えられ、およびが範囲一様に分布する乱数であるとします。漸近的に、貪欲なアルゴリズムは、コインのどの部分について、この金種のセットを使用して最適な変化を生成しますか？ $n$ $c_1=1$ $c_2<c_3<..<c_{n}$ $[2,N]$

答えは3宗派で知られています; しかし、一般的なケースはどうですか？

ds.algorithms

— ガネーシャ
ソース

4宗派の確率の確立は、3宗派の確率の表現を提供するThane Plambeckによって提起されました（OPが提供するリンクを参照）。OPは、この確率の漸近的な振る舞いについてより一般的な質問をしています。これはおそらく、タグの漸近線を使用したmath.SEおよびMOにより適しています。@Ganesh：TCSの動機、またはds.algorithmsタグの理由は何ですか？

— アンドラスサラモン

@アンドラス、これは非常に複雑性理論の問題です。たとえば、貪欲なアプローチが90％の確率で最適なソリューションを取得した場合、動的プログラミングを忘れて、残りの10％で次善のソリューションに落ち着くこともあります。Math。*ではこれが適切かもしれませんが、その動機はTCSにあります。最後に、「正しいタグ」が私を逃れた-だから、ds.algorithmsが最良の近似だと思った。

— ガネーシャ

これは答えではありませんが、おそらくあなたや他の誰かを正しい方向に向けるでしょう。

D. KozenとS. Zaksによる「変化を起こす問題の最適な境界」と呼ばれる論文を見つけました。そこでは、コインの変化インスタンスの貪欲な変化を起こすアルゴリズムが最適であるときの条件を与えます。それらの表記法を使用します。

異なるコインコイン変更インスタンスが与えられた場合、 a関数は、と関数を変更するために必要なコインの最適数を表します $m$
$（ c_{1} 、 c_{2} 、 c_{3} 、 \dots 、 c_{m - 1} 、 c_{m} ）$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ のための貪欲メイク変化に必要なコインの数を表す、ならば、、範囲内の反例が存在する $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < バツ < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

彼らはそれを示し続けます

すべてのための場合範囲の次に、（つまり、欲張りアルゴリズムが最適です）。 $x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$G （バツ） \leq G （バツ - c ） + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in （ c_{1} 、 c_{2} 、 \dots 、 c_{m} ）$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

これにより、コイン変更インスタンスが貪欲であるかどうかを判断するための「効率的な」（擬似多項式時間まで）テストが提供されます。

上記を使用して、結果を以下の対数目盛でプロットした短いシミュレーションを実行しました

ここに画像の説明を入力してください

$m$ $[1 \cdots N]$

$m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} （ N ） \propto N^{- \frac{（ m - 2 ）}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

$p_m(N)$ $m$ $N$

$m$ $N$

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$ ）均一に分布していないように見えます。おそらく、他の分布を調べてコイン単位を生成すると、システムの大きな制限で重要な結果が得られます。たとえば、べき法則の分布は、アメリカに近いコイン単位を生成する場合があります。

— user834
ソース