この有限言語を記述する多項式サイズのCFGはありますか？

順列が存在行うと多項式サイズ（中の有限言語記述文脈自由文法）アルファベット上？ $\pi_1,\pi_2$ $|w|=n$ $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ $\{0,1\}$

更新：1つの順列に対して可能です。は、反転または反転の比較的小さな変更です。 $\pi$ $\pi$

fl.formal-languages grammars context-free

— jerr18
ソース

math.stackexchangeについても尋ねた。彼があることを意味する：順列の順序はあり

ように言語

多項式サイズのCFGがありますか？

π_{1}^{n}, π_{2}^{n} \in S_{n}

$\pi_1^n,\pi_2^n \in S_n$

L_{n} = {w π_{1} (w) π_{2} (w) : w \in {0, 1}^{n}}

$L_n = \{w \pi_1(w) \pi_2(w) : w\in \{0,1\}^n\}$

— Yuval Filmus、2011

math.stackexchange.com/questions/22361/...

— 剛伊藤

我々はのためのCFGがある場合は知っています

？

L = ⋃_{n} L_{n}

$L = \bigcup_n L_n$

— カヴェ

@カベ：パーマのシーケンスについては、答えはノーです。あなたの言語

が文脈自由であったなら、それはポンピング長さ

持っています。CFGのポンピングレンマを

関連付けられたLの文字列に適用します。CFGのポンピングレンマは、OQが正の回答を持っている場合、

のCFGが少なくとも

変数を使用する必要があることを示します。ポンピングの長さよりも

短い必要があるためです。、

CFGは、長さ

文字列を受け入れないようにします。

L

$L$

p

$p$

w = 0^{p} 1^{p}

$w = 0^p 1^p$

L_{n}

$L_n$

Ω (n / \log n)

$\Omega(n / \log n)$

3 n

$3n$

L_{n}

$L_n$

。これを使用してOQへの肯定的な回答を除外する方法はまだわかりませんが、可能かもしれません。

> 3 n

$> 3n$

— Joshua Grochow、2011

@Kaveh：（また、パーマのシーケンスを任意に選択できる場合、言語

は計算可能である必要さえありません... OQは本質的に不均一であるようです。）

L

$L$

— Joshua Grochow

チョムスキー標準形

唯一のプロダクションがおよび形式である場合、CFGはCNF（Chomsky正規形）です。文法は、二次ブローアップのみでCNFにもたらすことができます。 $A \rightarrow a$ $A \rightarrow BC$

文法について CNFで、私たちは素敵なサブワード補題があります場合は単語を生成、その後、それぞれの、そこにあるAサブワードの長さのこれはによって生成されます。証明：（バイナリ）構文ツリーを下降し、常により長いサブワードを生成する子に行きます。少なくとものサイズのサブワードから始めた場合、下回ることはできません。 $G$ $G$ $w$ $\ell \leq w$ $x$ $w$ $\ell/2 \leq |x| < \ell$ $G$ $\ell$ $\ell/2$

解決

一般性を失うことなく、我々はのための文法と仮定することができる（特定のこのような言語）チョムスキー標準形です。言語ワードから成りのすべてのため。 $L_n$ $\pi_1,\pi_2 \in S_n$ $L_n$ $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ $x \in \{0,1\}^n$

$w(x)$ $s(x)$

\frac{n}{2} \leq | s (x) | < n

$\frac{n}{2} \leq |s(x)| < n$

A (x)

$A(x)$

p (x)

$p(x)$

$p(x) = p(y)$ $A(x) = A(y)$ $|s(x)|<n$ $s(x)$ $x$ $\pi_2(x)$ $w(x)$ $x$ $w(x)$ $x \alpha s(x) \beta$ $A(x)$ $s(x)$ $s(x) = s(y)$

$s(y)$ $\pi_1(y)$ $\pi_2(y)$ $n/4$ $n/4$ $y$ $2^{3n/4}$ $y \in \{0,1\}^n$ $p(x) = p(y)$ $A(x) = A(y)$ $3n$ $p(y)$

\frac{2^{n / 4}}{3 n}

$\frac{2^{n/4}}{3n}$

$\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$ $n$ $n/4$ $\pi_i(y)$ $2^{3n/4}$ $y$

その他の例

$\mathbb{N}$ $0$ $\mathbb{N}_{\geq 1}$

この証明方法についての参考資料をいただければ幸いです。

— ユヴァルフィルムス
ソース

ユヴァル、ソリューションもここにコピーしてください。

— カヴェ

ユヴァルありがとう。あなたの方法が正しくて小説であれば、有限または無限の言語のポリサイズCFGで肯定的または否定的な結果をもたらすより一般的なケースを調査する記事を読んで喜んでいます。

— jerr18

この記事は、cs.toronto.edu /〜yuvalf / cfg.pdfです。

— Yuval Filmus、2011

N_{\geq 1}

$N_{\geq 1}$

Σ^{| Σ |}

$\Sigma^{|\Sigma|}$

関連する質問cstheory.stackexchange.com/q/5014を参照してください。ここで、Yuvalは公開されたリファレンスを使用して回答を投稿しました。

— アンドラス・サラモン