{www |の補足です …}コンテキストフリー？

これは、の補数ことはよく知られている $\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$ 文脈自由です。しかし、何の補数について $\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$ ？

fl.formal-languages context-free

これがP.Dömösi、S。Horváth、M。Ito、L。Kászonyi、M。Katsuraの定理4であることがわかりました。原始的な単語で構成される形式言語。link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57163-9_15

— domotorp

回答:

それでもCFLは、古典的な証明を改造したものだと思います。これがスケッチです。

検討 $L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$ の補体である、 $\{www\}$ 長さの言葉ではなく、 $0$ MOD $3$ を除去しました。

してみましょう $L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$ 。明らかに、 $L'$ はCFLです。これは、位置 $p$ を推測して、 $u$ がその後 $p/2$ 終わると考えることができるためです。 $L = L'$ ことを示します。

$L \subseteq L'$ ：レッツ $w = xyz \in L$ 。そこだと仮定し $p$ ように $x_p \neq y_p$ 。次に、書き込み $u$ ための $3p/2$ の最初の文字 $w$ 、及び $v$ 残りの。当然、 $u_{2|u|/3} = x_p$ 。今、何 $v_{|v|/3}$ ？最初：

| v | / 3 = (| w | - 3 p / 2) / 3 = | w | / 3 - p / 2.

$|v|/3 = (|w| - 3p/2)/3 = |w|/3 - p/2.$

したがって、 $w$ では、これは位置です

| u | + | v | / 3 = 3 p / 2 + | w | / 3 - p / 2 = | w | / 3 + p,

$|u|+|v|/3 = 3p/2 + |w|/3 - p/2 = |w|/3 + p,$ 又は、換言すれば、位置

p

$p$ における

y

$y$ 。これは、

u_{2 | u | / 3} = x_{p} \neq y_{p} = v_{| v | / 3}

$u_{2|u|/3} = x_p \neq y_p = v_{|v|/3}$ 。

場合 $y_p \neq z_p$ 、次いでせ $u$ 最初に ${3\over2}(|w|/3 + p)$ の文字 $w$ ように、 $u_{2|u|/3}$ は $y_p$ です。 $v$ は残りの $w$ です。次に：

| u | + | v | / 3 = 2 | w | / 3 + p

$|u| + |v|/3 = 2|w|/3 + p$ したがって、同様に、

v_{| v | / 3} = z_{p}

$v_{|v|/3} = z_p$ 。

$L' \subseteq L$ ：私たちは前のプロセスを逆転。してみましょう $w = uv \in L'$ 。書き込み $p = 2|u|/3$ 。次に： $p + | w | / 3 = 2 | u | / 3 + | u v | / 3 = | u | + | v | / 3.$ $p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$ したがって、 $w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$ 、及び $w \in L$ （場合ので $w$ 形態である $xxx$ 、それは保持しなければならない $w_p = w_{p+|w|/3}$ すべてについて $p$ ）。

— ミハエルキャディラック
ソース

わあ、すごい！私はあなたが最後の行であなたが何を意味しているのか分からない（ 'For the last bit'）のか、なぜあなたが大文字小文字を区別しないのかなど、私があなたの議論のすべての詳細に従ったとは主張しません

ですが、最終的にはソリューションは機能します。主なトリックは

として要約します。同様のトリックは、任意の

補数でも機能します

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3<p/2$

3 a + 3 b = 2 a + (b - a) + 2 a + 2 b

$3a+3b=2a+(b-a)+2a+2b$

。私はだろうか

はコンテキストフリーかどうか。

L_{r} = {w^{r}}

$L_r=\{w^r\}$

L^{'} = {x y z : | x | = | y | = | z | \land (x \neq y)}

$L' = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y)\}$

— domotorp

@domotorp：乾杯！了解しました。「最後のビット」は不要でした。ありがとう！「

」については、どこを意味するのかわかりません。私は何か見落としてますか？あなたの

、私はこれを "証明"するのと同じことを考えました！まだ

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3 < p/2$

L^{'}

$L'$

— わかり

ああ、私の悪い、

常に保持します！

p / 2 \leq | w | / 3

$p/2\le |w|/3$

— domotorp

おそらくそれは問題ではありませんが、

が奇数になる可能性があるため、ケースを処理する必要があります

が奇数の場合。

p

$p$

| u | = 3 p / 2 (?)

$|u| = 3p/2 (?)$

p

$p$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi：このスケッチで正確になぜはい、です:-)

— ミカエルCadilhac

これが私がこの問題をPDAで解決することについて考える方法です。私の意見では、それは直感的により明確です。

$x$ $www$ $|x| \not\equiv 0$ $a$ $b$ $|w|$

$t$ $Z$ $|t|$ $t$ $t$

$t := |x|-3d$ $d$

$t$ $a$ $a$ $b$ $t$ $2$ $1$ $-3$ $b$ $a \not= b$ $t$ $t = 0$ $Z$ $a \not= b$

これの良い点は、これを任意のパワーに拡張する方法を完全に明確にする必要があることです。

— ジェフリー・シャリット
ソース

確かに、とてもきちんとしています！

— domotorp

ああ、確かにずっといいです:-)

— ミハエルキャディラック

$\{ w^k \}$ $k$

$\{ w^k \}$ $i$ $w_i \neq w_{i+1}$ $w_1 \neq w_2$

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

$k = 3$ $L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$ $G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

次に、逆準同型とユニオンの下でクロージャを適用します。

$\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

$\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$

$L'$ $kn$ $w^k$

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$

最後に、補数を正確に取得するために、長さがで割り切れない通常の文字列のセットを追加します。 $k$ $\{w^k\}$

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$

— マルツィオデビアシ
ソース