整数ではなく自然なのはなぜですか？

自然言語がプログラミング言語の理論と型理論に関する本の著者に愛されている理由に興味があります（たとえば、J。Mitchell、プログラミング言語の基礎、B。Pierce、型とプログラミング言語）。単純に型付けされたラムダ計算、特にPCFプログラミング言語の記述は、通常、NatとBoolに基づいています。汎用の工業用PLを使用および指導している人々にとって、自然の代わりに整数を扱う方がはるかに自然です。PL理論家がnatを好む理由をいくつか挙げてください。それに加えて、少し複雑ではありません。基本的な理由はありますか、それとも伝統を称えるだけですか？

UPDナチュラルの「ファンダメンタリティ」に関するすべてのコメントについて：私はそれらのすべてのクールなものについてはかなり知っていますが、PLの理論の型理論でそれらの特性を持つことが本当に重要な場合、例を見てみたいです。例えば、広く言及された誘導。基本的な1次論理のように、任意の種類の論理（単純にLCと入力）がある場合、誘導を使用しますが、派生ツリー（ラムダにもあります）の誘導を使用します。

私の質問は基本的に、プログラミング言語の基本的な理論を獲得したい業界の人々から来ています。彼らはプログラムに整数を持ち、研究されている理論（私たちの場合は型理論）への具体的な議論と応用なしに、なぜnatだけで言語を研究するのか、彼らは全くがっかりしています。

簡単な答え：ナチュラルは最初の制限の序数です。したがって、彼らは公理集合論（例えば、無限の公理は存在する主張である）と論理の中心的な役割を果たし、PL理論家は論理学者と基本的な先入観を共有する傾向がある。帰納法の原理にアクセスして、完全な正確性、終了、および同様の特性を証明したいと考えています。自然は、適切な順序の（より）自然な選択です。

ただし、有限幅の2進整数がそれほどクールではないオブジェクトであることを暗示したくはありません。それらはp進法の表現であり、数論と組み合わせ論でべき級数法を使用することができます。これは、PLよりもアルゴリズムの方がその重要性がより明確になることを意味します。これは、終了よりも複雑さを重視するときだからです。

ナチュラルは、整数よりもはるかに基本的な概念です。

帰納法は自然に対して行われ、整数は単項逆演算子を単純に追加するだけで自然から導出できます。

私は実際に逆の質問をしたいと思います：初期のプログラミング言語（およびマシンの登録）デザイナーは、整数が非常に二次的であり、自然から簡単に派生しているときに、なぜ基本データ型として崇拝するのですか？

整数をエレガントに処理できるクールなバイナリエンコーディングがあったからだと思います。;-)

プログラマチック整数の負の範囲を無視したい頻度を考え、失われたビットを回復するためにインパルスに符号なし整数型があると考えてください。

$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

$\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

さらにもう1つの理由（すでに与えられたものに関連しているが、この答えは新しい情報を追加する）は、自然の非常に単純で商のない構成があり、それが素敵な帰納法の原理とともに来ることである。拡張されていないのは、商のない整数の構築を考えるのがどれほど難しいかです。

高度な保証が必要な場所でプログラミングを行うほど、自然が必要になります。また、整数のみを事前に定義しておくことは非常に苦痛です。

PL理論家が整数ではなく自然を好む理由はありますか？いくつかありますが、プログラミング言語のセマンティクスに関する教科書には、必要な技術的理由はないと思います。PL理論でデータの帰納が重要な依存型システム以外の場所は考えられません。Mike Gordon、David Schmidt、Bob Tennent、John Reynoldsによる他の教科書はそれをしません。（そして、それらの本は、おそらく汎用産業PLを気にする人々を教えるのにはるかに適しているでしょう！）

だから、あなたはそれが必要ではないという証拠を持っています。実際、優れたPL理論の教科書は、プログラミング言語の原始的なタイプではパラメトリックである必要があると主張するでしょう。

Naturalsとboolsおよびそれらに対する操作は、いわゆるチャーチ数字（およびチャーチbools）として、単純な方法で純粋なラムダ計算でエンコードできます。整数をうまくエンコードする方法は明らかではありませんが、明らかにできます。