1つのエントリを変更すると、多項式階層の行列の永続性が減少するかどうかを決定しますか？

次のような問題を考慮してください行列所与 $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ 、指数 $i,j\in\{1,\dots,n\}$ と整数。交換してくださいにより、新たな行列呼び出し。is $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ？

この問題は多項式階層にありますか？

permanent

— T ....
ソース

#P oracleへの2回の呼び出しで解決できます。PHにある場合、PPもPHにあることを意味します。ただし、PPがPHにある場合、PHは崩壊します。ですから、PHである可能性は低いと思います。

— Tayfunペイ

@TayfunPay引数が正しいとは思いません。この問題は、＃Pを2回呼び出すことで解決できますが、簡単に除外できないため、PHにあることを示すより単純なアルゴリズムがあります。そのためには、＃Pが難しいことを示す必要があります。たとえば、Permanentを減らすことです。

— ヤンヨハンセン

パーマネントの定義をプラグインし、結果の不等式を単純化すると、問題は、特定の（n-1）行（n-1）行列のパーマネントが厳密に正であるかどうかという問題に帰着します。

— ガモフ

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ trueを返します。

— holf

@holf：これを回答として投稿すべきだと思います。質問にかなり確実に回答すると、質問は「未回答」として表示されなくなります。

— ジョシュアグロチョウ

あなたの問題は、であるかどうかに関係なく、与えられた場合のテストと同等です。 $M$ $PER(M) > 0$

証明：が与えられ、かどうかを決定したいとします。私たちは、構築次のようにことがありますことが簡単にわかります。さて、定義する我々は交換するのエントリによると。多重線形性により、ます。したがって、場合にのみ、 $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

ここで、およびが与えられ、質問のように、つまりを変更してを定義すると仮定します。我々は $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

ここで、は、行と列削除してから取得した行列です。 $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— ホルフ
ソース

良い答えですが、OPの質問に対する答えも明示的に述べる価値があるでしょう。

— ステラ