通常言語の階層

14

任意の既知の「素敵」の階層があり $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$ 定期的な言語のクラスの内部（有限でもよい） $L$ ？ここでいいことに、各階層のクラスは異なる表現力/力/複雑さをキャプチャします。また、各クラスのメンバーシップは、いくつかの要素によって「適切に」示されます（問題になる可能性のある星の高さの問題とは異なります）。

ありがとうございました！

automata-theory regular-language regular-expressions

— raja.damanik
ソース

3

自然な階層とは、状態の数によって引き起こされる階層です。

— マルツィオデビアーシ

9

標準的なものはドット深度階層であり、FO（<）の数量詞の交替によって特徴付けられます。基本的に、（ブール閉包）量指定子の交替により、堅牢なクラスと階層が得られます。

— ミカエルカディルハック

それらは...私には完璧な答えのように思えるの両方

— ジョシュアGrochow

4

星の高さもあります。

— reinierpost

「素敵な」階層と「各クラスのメンバーシップはいくつかの要素によって「素敵に」実証されている」とはどういう意味ですか。通常の言語以外では、多項式階層は実際の階層の存在でさえまだ証明されていない

— J.-E.ピン

15

いくつかの関心のある階層のリストを次に示しますが、そのいくつかはすでに他の回答で言及されています。

連結階層

言語ある著しい製品の場合 $L$ $L_0, L_1, \ldots, L_n$ が一部の文字。連結階層は、ブール演算と多項式演算（=ユニオンとマークされた積）を交互に繰り返すことで定義されます。Straubing-Thérien階層（開始点 $L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$ $a_1, \ldots, a_n$ $\{\emptyset, A^*\})\$ およびドット深さの階層（開始点はこのタイプですが、他の開始点、特にグループ言語（順列オートマトンで受け入れられる言語）を使用できます。 $\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\$

星の高さの階層

一般的なパターンは、文字から始まる言語を表現するために必要なネストされた星の最小数を数えることですが、許可する基本的な演算子に応じて、いくつかの変形が可能です。ユニオンと製品のみを許可する場合、制限されたスターの高さを定義し、ユニオン、補数、および製品を許可する場合、（一般化された）スターの高さを定義し、ユニオン、交差点、および製品を許可する場合は、中間のスターの高さを定義します。制限されたスターの言語がありますすべてのためかつ効果的に与えられた正規言語の星の高さを計算することができますには。星の高さ、星の高さは決定可能です（星のない言語）、星の高さ言語が存在します $n$ $n$ $0$ $1$ 、しかし、星の高さ言語は知られていない！中間の星の高さでは結果がわかりません。概要については、このペーパーを参照してください。 $2$

論理階層

そこにそれらの多くがありますが、最も重要なものの一つは、いわゆるです階層。式があると言われている、それがフォームの式と等しい場合-formula $\Sigma_n$ $\Sigma_n$ ここで数量詞自由であるはシーケンスです $Q(x_1,...,x_k)\varphi$ $\varphi$ $Q(x_1,...,x_k)$ $n$ 第一ブロックのみが存在記号（この最初のブロックが空であってもよいことに留意されたい）、第二のブロックユニバーサル数量などを含むような数量のブロックは同様に、で形成されている（再び空かもしれない）ユニバーサル数量のブロックから始まる数量のブロックを交互に、我々はと言うある -formula。表す（RESP。）によって定義することができる言語のクラス -formula（RESP。 $Q(x_1,...,x_k)$ $n$ $\varphi$ $\Pi_n$ $\Sigma_n$ $\Pi_n$ $\Sigma_n$ -formula）によってのブール閉鎖 -languages。最後に、聞かせて。一般的な図はこのように見えますが、署名を指定するにはもちろん必要です。述語は通常あり（及び各文字のため文字がある手段の位置で言葉では）。次に、バイナリシンボル $\Pi_n$ $\mathcal{B}\Sigma_n$ $\Sigma_n$ $\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{a}x$ $a$ $x$ $<$ （対応する階層はStraubing-Thérien階層です）、また後継シンボル（対応する階層はドット深さ階層です）。他の可能性は、法とカウントするように述語を、など、再びこの参照の論文を概観するために。 $Mod$ $n$

ブール階層

一般的なパターン（通常の言語に固有ではない）は、Hausdorffによるものです。してみましょう空集合とフルセットを含む言語のクラスであり、有限の交差点と有限組合の下で閉じ。LET 形態のすべての言語のクラスで $\mathcal{L}$ $\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

X = X_{1} - X_{2} + \dots \pm X_{n}

$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$

と

。以来

X_{i} \in L

$X_i\in \mathcal{L}$

X_{1} \supseteq X_{2} \supseteq X_{3} \supseteq \dots \supseteq X_{n}

$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$

、クラス

階層を定義し、それらの組合は、ブール閉鎖ある

。繰り返しますが、さまざまな出発点が可能です。

D_{n} (L) \subseteq D_{n + 1} (L)

$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$

D_{n} (L)

$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

L

$\mathcal{L}$

グループの複雑さ

Krohn-Rhodes（1966）の結果は、リセット（フリップフロップとも呼ばれる）オートマトンと遷移セミグループが有限グループであるオートマトンのカスケードによってすべてのDFAをシミュレートできることを示しています。言語のグループの複雑さは、そのような言語の最小DFAの分解に関与するグループの最小数です。複雑度言語はまさに星のない言語であり、あらゆる複雑な言語が存在します。しかし、複雑さの言語の効果的な特性評価は知られていない。 $0$ $1$

回路の複雑さから継承された階層

出発点はいい物品であるクラスことを特に示し決定可能です。LET 。が分割する場合、 $[1]$ $AC^0 \cap Reg$ 、ここで、 $ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ $MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$ $q$ $q'$ 。興味深い問題はかどうかを知ることであるいずれかについて決定可能である。 $ACC(q) \subseteq ACC(q')$ $ACC(q) \cap Reg$ $q$

バリントン、デビッドA.ミックス。コンプトン、ケビン; Straubing、ハワード。デニス、テリエン。通常言語。J.計算 システム科学。44（1992） $[1]$ $NC^1$

— J.-E. ピン
ソース

12

コメントの拡張：自然な階層とは、DFAの状態の数によって引き起こされる階層です。

を定義できます $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

（、） $D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$ $|Q| = n$

明らかに（単に死んだ状態を使用） $\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

適切な包含表示するには：我々は、単に言語選ぶことができる $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$ $L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

非常に非公式：認識する（最小）DFAは、長さの"状態鎖"でなければならない：、および $\{ a^{i} \mid i \geq n \}$ $n+1$ $q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$ $F = \{q_n\}$ $q_n \to^a q_n$ （には自己ループがあります）。したがって、状態で十分です $q_n$ $n+1$ 。しかし、から最終状態へのパスを受け入れるすべては、厳密により短いは属さないを受け入れる必要があるため、以下の状態のDFAは受け入れます。 $L_{n+1}$ $q_0$ $q_f$ $n+1$ $a^{i}$ $i < n$ $L_{n+1}$ $n$ $L_{n+1}$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

8

私は最近、この論文に出会ったが、これは別の関連する例を与えるかもしれない（要約の最後の文を参照）：

フロリアン・デループ：ギヨーム・ボンファンテ：通常言語の属。

要約から：この記事では、有限状態決定性オートマトン（FSA）および通常の言語の属を定義および研究しています。実際、FSAは属の概念が生じるグラフとして見ることができます。同時に、FSAには、基礎となる言語を介したセマンティクスがあります。その場合、言語と属の概念を結びつけるのは自然です。正規言語の属の概念を導入して正当化した後、[...]任意の大規模な属の正規言語を構築します。属の概念は、正規言語の適切な階層を定義します。

— ダミアーノ・マッツァ
ソース

5

無限の単語からなる通常の言語には、たとえば「言語の複雑さ」の概念を伝えるいくつかの自然な階層があります。

決定論的パリティオートマトンに必要なランクの数
Wadge（またはワーグナー）階層：位相的複雑さ、レベル。 $\omega^\omega$

これらの階層は、新しい階層が表示される無限ツリーの通常の言語に一般化できます。たとえば、この回答を参照してください。

— デニス
ソース