P / Polyと均一複雑度クラス

NEXPがP / polyに含まれているかどうかは不明です。実際、NEXPがP / polyに含まれていないことを証明すると、ランダム化解除にいくつかのアプリケーションが含まれることになります。

CがP / polyに含まれていないことを証明できる最小の均一クラスCは何ですか？
co-NEXPがP / polyに含まれていないことを示すと、NEXPとP / polyの場合のように、他のいくつかの複雑な理論上の影響がありますか？

注： $SP_2$ は、各固定定数 $Size[n^k]$ に含まれていないことがわかっていることを知っています（これは、1ビットのアドバイスでMAにも表示されました）。しかし、この質問では、固定された結果には興味がありません。これらのクラスが非常に大きくても、P / Polyとは異なるクラスに本当に興味があります。 $k$ $k$

complexity

— スプリングバーグ
ソース

基本的に、一般的な回路の超多項式サイズの下限の問題を求めています。

— Kaveh

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ は

れていないことがわかっています

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ 。簡単な証明については、ウィキペディアの記事を参照してください。

— Robin Kothari

P / polyは補数の下で閉じているため、coNEXPが含まれている場合にのみNEXPが含まれています。

— EmilJeřábek16年

エミール、ロビン、アンドリュー、回答ありがとうございます。私の質問は今答えられていると考えることができると思います。私がそれを受け入れることができるように誰かが答えにそれを書くでしょうか？

— Springberg、2016年

私はと考えている

既知superpolynomial下限（最小と均一クラスでpeople.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf）、その

任意の多項式低いと最小のものです境界（citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/…）。

M A_{e x p}

$MA_{exp}$

O_{2}^{P}

$O^P_2$

— Alex Golovnev 2016年

$\let\mr\mathrm$ $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

が時間構成可能であり、場合、超多項式の範囲であると言いましょう。たとえば、は超多項式の範囲です。実際、有益な演習では、が無制限の単調計算可能な関数である場合、ような超多項式の境界が存在することが示されています。 $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

最初に、直接対角化は、任意のであることを示しています。同じ議論が与える： $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

場合任意superpolynomial結合させ、次いで。 $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

証明スケッチ：任意のについて、辞書式に最初のサイズの回路とし、サイズ回路では計算できない変数のブール関数を計算します。次に、定義された言語機能します。 $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

よく知られている改善では、任意のがれています。同様に、 $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

場合任意superpolynomial結合させ、次いで、。 $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

証明の概略：ていない場合には、特に、したがって。パディング引数により、、クォードなし。 $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

忘却的クラスはさらに優れています。Apoorva Bhagwatによって提起された反対意見を考慮して、ます。次に、任意のを実行すると、同じ引数によって次のようになります。 $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

場合任意superpolynomial結合させ、その後。 $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

証明のスケッチ：場合、パディングによりとなり、を意味します。その後、以前と同様に進みます。 $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

MAを含む結果もあります。とよく言われる結果はやり過ぎです。Santhanamは、任意のについてをしました。同様の引数により、 $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

場合任意superpolynomial結合し、その後で $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
証明のスケッチ：Santhanamの補題11（PSPACE証明者をしたの標準的な事実のシャープバージョン）により、PSPACE完全な言語とランダム化されたポリタイムオラクルTMがあります。入力、は長さ Oracleクエリのみを要求します ; もしは、確率で受け入れ。そしてあれば、次いで、任意のOracleのための、確率で受け入れ。 $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

適切な単調多項式のため、聞かせてによって定義された約束の問題であるう次の多項式低減することその相補体に、およびlet約束の問題です $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ が適切に大きく選択されている場合、だから、私たちがいることを矛盾のために仮定しましょう、言う、多項式サイズの回路を持っている。LET示す最小の回路計算の大きさ長さの入力に、及びプット。より正確には、その後 $p(n)$ $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ はからへの縮小であり、したがってはを意味しますしかし、は超多項式であるため、ます。これにより、十分に大きい矛盾がます。 $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

我々はMA、非約束バージョンで結果を好む場合Miltersen、Vinodchandran、及び渡辺証明ための半指数関数。これは2つの方法で改善できますつ目は、任意の定数 -exponential境界を保持し、 1つは、忘却型クラスを保持します。ここで、 -exponential機能は、大別的に言えば、関数、であるよう

M A - T I M E (f (n)) \cap c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ 。正確な定義については、Miltersen–Vinodchandran–Watanabeの論文とその参考文献を参照してください。正常に動作する関数、を、、、および。また、および場合、。それから私達は持っています：

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ 任意用。 $\alpha>0$

証明スケッチ：それ以外の場合を想定します。整数をように修正します。私は省略しましょうパディングにより、 for。さらに、たとえば上記のSanthanamの補題11を使用すると、ことながら、繰り返し適用（1）および（2）の、 $k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) \cap c o O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P A C E \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) ⟹ P S P A C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ 、、など。ステップ後、もう一度パディングを使用して、を取得しますこれは上記の結果と矛盾します、は超多項式の境界であるため $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P A C E \subseteq P / p o l y and P S P A C E = O M A \cap c o O M A .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P A C E (e_{1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 / k}) \subseteq P / p o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— エミール・イェジャベク
ソース

誰も答えを投稿しなかったので、元の質問に投稿されたコメントで私自身が質問に答えます。Robin Kothari、Emil Jerabek、Andrew Morgan、Alex Golovnevに感謝します。

$MA_{exp}$ は、既知の超多項式の下限を持つ最小の均一クラスのようです。

$O_2^P$ は、各固定に対してサイズ回路を持たない既知の最小クラスのようです。 $n^k$ $k$

対角化により、超多項式（および空間構築可能）関数場合、は多項式サイズの回路がありません。とはまだオープンです。 $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ は補数の下で閉じているため、が含まれている場合にのみが含まれてい。 $NEXP$ $coNEXP$

— スプリングバーグ
ソース

私が間違っている場合は修正してください。しかし、私が知る限り、実際には固定多項式サイズの下限はわかりません。通常のカープ・リプトン引数はのために通過しないためです私たちが知っていないので、どうか（実際には、これはかどうかを尋ねると等価である）。しかし、我々は知っているに含まれていないいずれかのために Chakaravarthyロイによって示されるように、。 $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— アポオルバ・バグワット
ソース