グラフが平面の場合の隣接行列のプロパティについて

1-グラフが平面の場合、隣接行列に特定のプロパティはありますか？
2-グラフが平面の場合に、隣接行列のパーマネントを計算するために特別なことはありますか？

平面グラフの行列式および恒久的な計算は、一般的なグラフで計算するのと同じくらい困難です。これらはそれぞれGapLと#Pに対して完全です。詳細については、Dahta、Kulkarni、Limaye、Mahajanによるこのペーパーを参照してください。

隣接行列よりも入射行列の特性ですが、平面グラフの重要な特性の1つは、グラフィックマトロイドが別のグラフィックマトロイドの双対であるグラフであることです。入射行列との関係は、グラフィックマトロイドが行列内の独立した列のセットを記述することです。

興味深い可能性のある制限付き平面グラフの距離行列のプロパティ（隣接行列ではない）、Mongeプロパティがあります。平面グラフのMongeプロパティ（Gaspard Mongeによる）は、本質的に、特定の最短パスが交差できないことを意味します。Mongeプロパティの正式な説明については、Wikipedia：Monge Arrayを参照してください。Djidjev（WG 1996）（DjidjevのWebサイトに関する論文）およびFakcharoenphol and Rao（FOCS 2001）（Video）は、最短経路アルゴリズムで非交差特性を活用する方法を示しています。

どの種類のプロパティを探しているのかわかりませんが、平面グラフのスペクトル半径はそのような量です（アジャセニー行列の固有値の最大絶対値）。たとえば、このペーパーを参照してください。

あなたの質問に直接関係しているわけではありませんが、平面グラフの次数シーケンスに関する研究を見たいかもしれません。次数列が平面グラフの次数列である場合の特性化は知られていません。ただし、次のような問題については、さまざまな興味深い論文があります。

http://www.jstor.org/pss/2100346