Pにあると考えられる準多項式時間の問題（崩壊を引き起こしたり、広く保持されている信念に違反したりしない）

準多項式時間（との問題のいくつかの例どのようなものがあり考えでもよい）アルゴリズムPは。言い換えれば、多項式時間アルゴリズムを誰も見つけていないという明白な理由がない限り、それらはQ Pにありますか？$QP$$P$$QP$

この質問は、最近のグラフ同型結果（この質問に対する有効な回答です）が動機となっています

いくつかの非例は

• グラフでサイズクリークを見つける$\log^{100} n$
• グラフでのサイズのパスを見つける$\log^{100} n$
• k = log 100 nの k-sumを解く$k=\log^{100} n$
• トーナメントの最小支配セット

にあるこれらの問題はいずれも、指数時間仮説（ETH）に違反します。$P$

グループ同型！リッキー・デマーはこれについて多くの（確かにすべてではありませんが）詳細を述べましたが、特に強調したい重要なポイントがあります。質問の動機が述べられている場合、すなわち、

グループ同型をに入れることは、グラフ同型をPに入れる際の主要な障害です。$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

グループ同型写像（乗算表によって与えられる場合）はグラフ同型写像に還元されるため、上記は技術的に常に真でした。しかし、グラフISOは道がでアップした時にGroup Isoの2（logn）2から遠く離れているため、明らかに他の障害がありました。Graph Isoが2（logn） O （1 ）の時間内にある場合、Group IsomorphismはGraph IsomorphismをPに入れる上でより直接的な障害となります。特に、これはBabaiのアルゴリズムがGIの組み合わせ論の多く[1]を処理することを示唆しており、問題はハード代数にまで及んでいます。（GIにはハード代数がないというわけではありませんが、GroupIsoは定義により代数についてのものです。）$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{(\log n)^2}$$2^{(\log n)^{O(1)}}$$\mathsf{P}$

[1] Babaiのアルゴリズムの指数は2を可能性が最も高いため、組み合わせの「すべて」を言うことはしません。また、GroupIsoの代数の内部にまだいくつかの組み合わせ論が存在する可能性があるためです...$> 2$

ランダムグラフとクリーク（2 log 2 nと√の間のサイズのクリーク）のユニオンから一様ランダムグラフを区別するという植え付けられたクリーク問題の解決$2\log_2 n$）、成功確率は1/2から離れています。これは、任意のグラフでポリログサイズのクリークを検出するETH違反の例とは異なります。これは、最悪の場合ではなく平均の場合の問題であるためです。$\sqrt n$

グループ同型は
、準多項式時間で解けることが知られているもう1つのよく知られている問題です 。その結果を一般化することができる
他の有限のにオブジェクトの適切な意味での「延び」基-
[ 可換semiringsとゼロ製品のプロパティ ]と可換groupoidsは
共にいない十分に近い、しかし[ Θ基の（1）-lengthタプルと
グループ要素のセットの一部のタプル（必ずしも同じグループに属している必要はない）のラベル ]はすべて機能します。
（シングルトンのラベル付けされたタプルはエンコーディング関数を許可し
、グループのタプルを使用すると個別に許可されるため、これはかなり広いです スカラーとベクトル。）

この回答では、グループはCayleyテーブルによって与えられます。ここ
で取り上げる問題は、SUBEXPで「本当に」知られているのは、[基になるグループ
が必ずしもすべてのアーベル語であるとは限らない]または[ラベル付けの「十分な量」が可能である場合）されている
[[[のサブグループの「小」数によって包含されない直接和これらの基の]および/または
そうでなければ、] [機能]またにわたって分配ようなサブグループから及びへ]
すべてが物事を発現することによって、指数関数的に圧縮することができますセットを生成するという点では
、完全なテーブルを提供する代わりに、基本的に入力をパディングすることになります。

[順序付けられたペア構成される入力の場合$\langle \hspace{-0.02 in}$A、B$\hspace{-0.02 in}\rangle$



$\cdot$

（依然としてReingoldを用いて）さらに、ログ・スペース・マシンは、与えられたそのような射を計算することができる
ような証人の2ウェイのアクセスを、それらがさらにランダムテープに2ウェイのアクセス権を持っている場合、
その後、彼らは[[[証明の知識とを与えることができ
すでに出力されているものへの双方向の読み取りアクセス権を持つ抽出器に関して ]同形性のそのような証人の] グラフの同型性のための
通常のZK P oKと同じプロパティを持つ ]双方向の読み取りアクセス権を持つログスペース検証へ
独自のランダム性と証明のメッセージ。同様に、グラフの非同型性のHVSZK証明システム は、この段落が対象とするタイプのオブジェクトに本質的に変更されずに引き継がれます。

$\cdot \hspace{-0.02 in}\lceil \hspace{-0.03 in}$ログ₂（cardinality_of_the_group）$\hspace{-0.02 in}\rceil$

結果として、単純な状態の
「サブグループ同型」から、適度な「
アーベル群の特定のサブセットと組み合わせてグループ全体を生成できる最小数の要素」 まで、さまざまなものが得 られます。
意図的に複雑なツー状態に
「そのスカラのみを形成する必要があるドメインを考えると、Rを$\hspace{.02 in}$ngと、
必ずしも可換で はない「ベクトル」が追加された共領域は、スカラー上のマップがゼロではないような3つ以上の代数準同型がありますr$\hspace{.02 in}$ngモーフィズムと「ベクトル」のマップは単射ですか？」
はすべてGCにあります$\hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}O\big(\hspace{-0.03 in}$$^2\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.03 in}$、ログスペース$\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.02 in}$、したがって、特に準多項式時間で解ける。


別に[という事実から、2011年以来、重大な問題に関する作業は、「単に」の一般的なグループのランタイムの指数を半減しているとのランタイムの指数を四分割可解群 ]、
私はそのような問題がでてはならないという証拠を認識していませんよP.


この回答に関する問題は「それほど難しくない」という証拠：

ZKPoKおよびHVSZKプルーフシステムについてはすでに説明しました。
「あまり多くない」同形でないオブジェクトが存在する場合はいつでも、[検証者に「長すぎない」アドバイス文字列を与え、プルーフにその場所へのポインタを含めさせる]だけで、このタイプの問題の補足をさらに
検証できます。答えはこの文の前にありました。 （ポインタはアドバイス列が[2参照オブジェクトを与えるところにある し、彼らのために解答入力オブジェクトが同型であることを]。） することで、この答えの非同型基の数にバインドされ、私はどのように知りません（証明）、ラベル付けされたタプルが以下の組み合わせに含まれる場合



$\:\: \big[\hspace{-0.02 in}$
$\big[\hspace{-0.02 in}$$O\big(\hspace{-0.03 in}$$^2\hspace{-0.03 in}\big)\big]\big]\hspace{-0.02 in}$
$n^{O\left((\log(n))^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}\right)}$

$O\big(\hspace{-0.03 in}$ログ⁶ n$\hspace{-0.03 in}\big)$$O\big(\hspace{-0.03 in}$ログ² n$\hspace{-0.03 in}\big)$

$O(\log^3 k)$$O(i^2 k^{1/i})$$n^{O(i)}$

この問題に関連するのは、サブモジュラーオリエンテーリング問題とその特殊なケースです。http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=1530718&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D1530718

$\mathcal{H}:=(V,{\cal E}\subseteq 2^V)$${\cal H}$$V$${\cal E}$

${\cal H}$${\cal T}$

${\cal T}$${\cal H}$

最もよく知られているアルゴリズムは準多項式時間アルゴリズムです（最初のアルゴリズムはFredmanとKhachiyanによるものです http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0062

この問題は、Monotone Boolean DualityまたはHypergraph Dualityとして知られており、いくつかの列挙問題はこの問題に還元可能またはそれと同等です（たとえば、最小支配セットの列挙はこの問題と同等です）。それは実際にはPにあると考えられています。