ラムダ計算自体のエンコーディングの妥当性をどのように述べるのですか？

$\ulcorner M \urcorner$$M$$M$$\mathsf E$

自然数を使用するKleeneのようなさまざまなエンコーディングがあり、最も効率的な最新のエンコーディングはMogensenによる高次構文です。別の可能な（自明な）エンコーディングは恒等関数であり、インタプリタも恒等関数です。

些細なエンコーディングを禁止する「適切なエンコーディング」の合理的な概念はありますか？

この質問は、チューリングマシンではなくラムダ計算に適用される停止問題を検討するときに発生しました。自明なエンコーディングの観点から言えば、引用されたラムダ項では本質的に何もできないという自明な理由があります。

言い換えると、引用されたラムダ項で計算できると期待できる関数のセットは何ですか？

私はいくつかのようなものをリストすることができます：用語の深さを数え、サブ用語を取り、用語のルートノードがラムダまたはアプリケーションであるかどうかを伝えます...しかし、分類された関数をリストするだけで「適切なエンコーディング」を定義するのをためらいますそれが頭に浮かんだ。

他の人が指摘したように、「適切な」コーディングの明白な定義は、標準のコーディングと同等に翻訳可能であるということです。したがって問題は、そのようなコーディングをより基本的な特性の観点から特徴付けることです。

（歴史ノート。スムリャンはこの問題を組み合わせ論理の文脈で研究しました。私が学生だったとき、ヘンクバレンドレットはスムリャンの推測を研究上の問題として提案しました。それが私の最初の科学的出版物につながりました。）

http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2011/3249/ $\newcommand{\code}[1]{\overline{#1}}$

まとめると、マップが与えられた場合、特定のプロパティを満たすコンビネータが存在するかどうかを検討します。最も重要なものは次のとおりです。$\code{\cdot} : \Lambda \to \Lambda$

• $A\, \code{M}\, \code{N} = \code{MN}$
• $B\, \code{M} = \code{\code{M}}$
• $P_i\, \code{M_0 M_1} = \code{M_i},\quad i \in \{0,1\}$
• $Z_b\, \code{M} = \begin{cases} \lambda x y.x &M \equiv b \in \{I,K,S\}\\ \lambda xy.y &otherwise \end{cases}$
• $\Delta\, \code{M}\, \code{N} = \begin{cases} \lambda x y. x &M \equiv N\\ \lambda x y.y &otherwise \end{cases}$
• $U\, \code{M} = \code{M}^s$、ここではいくつかの標準コーディングです$\code{\cdot}^s$
• $U^{-1}\, \code{M}^s = \code{M}$

適切なコーディングにはこれらの特性があることが簡単にわかります。この論文の主な結果（結果14）は、適切なコーディングのために、次のいずれかで十分です。

• $A + \Delta$ ;
• $U^{-1} + \Delta$ ;
• $U^{-1} + P_i + Z_b$ ;
• $P_i + Z_b +$ "の範囲は再帰的に列挙可能なセットに含まれており、このセットの特定の要素が範囲内にあるかどうかを決定するコンビがあります。$\code{\cdot}$

これは答えではありません。それは質問の詳細であり、私には興味深く見え、おそらく実際に受け取ったよりも注目に値するはずです。

まず第一に、Brennanによって省略されたBarendregtの定義には重要な条件がある、つまり、は正規形である必要があるという事実があり、これは恒等関数を適切なエンコーディングとして直ちに除外します。$\lceil M \rceil$

これで、コーディの提案に従って質問をより正確に定式化できます。

2つのエンコーディングを考えると、それらは再帰的に同型ですか？つまり、次のような2つのエンコーディングがあるとします。

答えがそうでない場合、それを保証するために追加する必要がある「最小の」抽象的な要件は何ですか？