上のPITの結果は効率的なアルゴリズムを持たない

所与の係数ようにで囲まれている、いホールド？ $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

それは、一般的なフィールドとするために保持しているためシュワルツ-Zippelの補題は、ここで適用されると、この問題のための効率的な無作為化アルゴリズムがあります。 $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

この問題には効率的なデランダム化が期待されます。

この問題に効率的なデランダム化がない場合、結果はどうなりますか？

big-picture derandomization conditional-results

と

はどのように与えられますか？

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemerそれは通常の多項式同一性テストでどのように与えられますか？

Kabanets-Impagliazzoの結果は、効率的なデランダム化を期待しないと言っているのではないでしょうか？

— スレシュヴェンカト

はい。

$\:$ 標準表現でそれを持ち出すと思ったので、

$\hspace{1.76 in}$ 異なる文字列は個別の要素を表します。

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat：Kabanets＆Impagliazzoは、次のようないくつかのことを証明しました。1。PITのランダム化を解除できる場合、NEXPにポリサイズ（ブール）回路がないか、パーマネントにポリサイズ（算術）回路がない。2.パーマネントがスーパーポリサイズの回路を必要とする場合、PITは「弱く」デランダム化できます。1.の結論は一般に2.の前提と同様に成り立つと推測されるため、KIの結果は効率的なデランダム化を期待していると言っていることとは反対になります。

— ブルーノ

回答:

PITはにあるため、効率的なデランダム化がない場合、（特にですが、とにかく真であると予想されるため、それほど驚くことではありません）。もちろん、これはであることも意味するため、を意味するものはすべて偽になります。たとえば、十分に強力な擬似乱数ジェネレータは存在せず、 $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ 指数関数以下のサイズの回路があります！ $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

これは（の係数接地フィールドにかかわらず保持する

係数に関するいくつかの境界を持ちますか）？

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

実際、すでに指摘したように、シュワルツ・ジッペル・デミロ・リプトンは任意のフィールドに適用され、必要なのは多項式の次数の限界だけです（係数のサイズや回路サイズではありません）。例外の数が非常に少ない場合、PITは通常、次数に制限のあるバージョン（変数の数が多項式で制限された次数）を意味します。

— ジョシュアグロショー

ばかげたことかもしれません。係数のサイズと回路サイズに依存しないことについて言及しました。サイズは係数の程度とサイズに依存すると仮定しました。私が間違っている？

回路のサイズは、モデルによって異なりますが、係数のサイズに依存する場合があります（依存するモデルは、通常「定数なし」と呼ばれます）。回路サイズは、サイズが少なくとも程度の対数であるという意味で、程度に非常に緩やかに依存しますが、実際には、SZDLから出てくるcoRPアルゴリズムはほぼ程度です。回路として与えられている関数に依存することさえありません-簡単に評価できる何らかの形（「ブラックボックス」）でのみです。

— ジョシュアグロチョウ

ありがとうございました。これは、そのderandomization手を煩わせる少し係数自体が建設複雑になることがあっても、効率の損失なしで行うことができるである

あなたはここで全体像の問題について疑問に思っています。自然数は単項表記で正規表現できますが、この表現はスペース効率が非常に悪いです。また、バイナリ表記で表現することもできます。これはスペース効率が高くなりますが、標準表記ではなくなりました。これは、10進表記または10進表記も使用できるためです。しかし、回路による表現はバイナリ表記よりもそれほど効率的ではないことに注意してください、例えば

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

また、(...)*(1+1)に置き換えられることに注意しx:=(...) in x+xてください。そのため、乗算する必要もありません。ただし、乗算があるため、などの数値を効率的に表すこともできます1011^101101。また、この表現では数値を効率的に加算、減算、乗算できることに注意してください。ただし、この表現は数値に限定されず、多変量多項式関数でもまったく同じように機能します。多項式は可換環の自由代数であり、回路としての表現は任意の自由代数に使用できるため、多項式の場合、それは非常に自然な表現ですらあります。

$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ なぜなら、これらの数値のほとんどには、物理的な宇宙で表現できるよりも多くの情報が含まれているからです。暴言のほとんどは私を笑わせただけでしたが、この点は私に考えさせられました。ウィラード・ヴァン・オーマン・クインのような哲学者は、とりわけ非現実的な可能性の存在を主張することに抗議しました。したがって、加算、減算、および乗算を実行し、少なくとも2つの数値が互いに異なるかどうかを少なくとも有意義に判断する数値表示について疑問に思うことは非常に理にかなっています。回路表現はこれを達成します...

自由代数の多項式と回路表現に戻ります。ここにいくつかの大きな問題があります：

$n\geq 4$ $n$
P！= NPのような、一般的に信じられている推測を効率的な決定論的同一性テストによって無効にする無料の代数はありますか？
-> はい、通常の可換環の自由代数の同一性テストはNP完全です。長い間これに気づかなかった、以下を参照してください...
$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

ここでは、有理数と有理関数を表すことができるので、ここで通常の可換環（すなわち、一般化された逆演算を行う環）の自由代数について特に疑問に思っています。この表現を数値にのみ使用していた場合a < b、この表現を効率的にテストできるかどうか疑問に思ったことがあることに注意してください。この質問は、自由可換環に対しては意味がありませんが、自由半順序環の文脈でそれらを解釈するならば、多項式にとって意味があります。しかし、半順序リングは代数ではなくリレーショナル構造にすぎないため、これは別の種類の質問です...

それは、一般的なフィールドとするために保持しているためシュワルツ-Zippelの補題は、ここで適用されるZ ⊂ Q $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

一方、十分に長い時間テストするだけであれば、合理的な擬似乱数ジェネレータを使用して、実用的な目的のためにPITを決定することもできると考えています。私はあなたが決して空でないことによって迷惑なままである測定ゼロのセットと同様に、残りの（無限小の）疑念を取り除くことができないと信じています。

— トーマス・クリンペル
ソース

P! = N P

$P!=NP$

私は無料の代数の問題だけを考えているが、あなたが考えていることではない