物理法則を想定した証明は十分と見なされますか？

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コンピュータサイエンスの証明が、物理法則を仮定する必要がある場合、命題の十分な証明と見なされるかどうか、私は常に疑問に思っていましたか？
たとえば、誰かがいつか熱力学の第2法則の仮定の下でP！= NPを証明した場合、どうなるのだろうと思います。これはP！= NPの議論を解決しますか？
または、物理的な仮定に基づいている場合、問題は未解決と見なされますか？

proofs

— ユーザー541686
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熱力学の第二法則は、純粋に数学的な質問であるP

NP とは関係ありません。基本的には、ピタゴラスの定理の証明には相対性が必要であると言っているようなものです。

\neq

$\neq$

— Peter Shor 2015

@PeterShor：理由はわかりませんが、理由を知るのに十分な知識がないためと考えられます。でも直感的には繋がりがあったとしても全く驚かないような気がします。これは明らかに純粋に仮説ですが、たとえば、すべてのビットフリップにエントロピーの最小の増加が関連付けられている場合、入力から出力へのエントロピーの変化を使用して、特定の数のビットをフリップする必要があると主張できます。たとえば、指数時間の最小量がかかります。または、そのようなものは、私にはわかりません。そのような証明は完全に問題外ですか？（なぜですか？）

— user541686

@Kaveh：例はありませんが、ここに潜在的な例があります：選択の公理などの公理が「実際に」物理世界に当てはまるかどうかを尋ねることは理にかなっていると思います。たぶんそうかもしれませんし、そうでないかもしれません。多分、それをテストする方法は決してないでしょう。しかし、私たちは確かに尋ねることができます。そして、それがそうである（しない）ことを証明する物理的な方法があった場合、それはそれに基づく定理が物理的な世界で（不）真実であることを意味します。したがって、上記が有効な質問であることを認めれば、P対NPなどの根底にある公理があるかどうかを尋ねるのに、大きな信念を必要としません。

— user541686 2015

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上記のコメントで、あなたは2つの異なることを混同していると思います。数学の証明における物理法則から派生したアイデアの使用と、数学の証明における物理学の実際の法則の使用。たとえば、エントロピーの数学的定義を使用する多くの数学的証明があります。ただし、この数学的定義が存在し、熱力学の法則が物理学に当てはまるかどうかに関係なく有用です。別の例–実際の物理空間は曲線であり、ユークリッド空間ではないという事実にもかかわらず、数学的証明でユークリッド空間を使用できます。

— Peter Shor

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それは少なくとも私には可能だと思われますが、現在のところ非常にありそうもありません。以下をまとめると、それは（たとえば）P対NPの現在の数学的ステートメントが物理法則から完全に独立しているためです。そのため、物理公理に依存する新しい計算モデルを記述する必要があります。

Peter Shorがコメントで述べた重要な点は、P対NPなどのCS理論の質問は、非常に単純で様式化された数学モデルに言及していることです。彼らは現実の世界についての声明ではありません。彼らは「この数学的モデルでは、___は真実だ」とだけ言っています。

現在、教会チューリングの論文のように、現実の世界はこれらの数学モデルのように機能するという経験則がよくあります。ただし、これは一方向の接続です（数学モデルが現実の世界のように動作する必要があるという意味ではありません）。ピーターショーの例を具体化するために、ピタゴラスの定理は、実数とユークリッド平面/距離の考えのみを必要とします。モデルは実世界よりもはるかに単純で、たとえば重力、電磁気学、熱力学などを含みません。そして、これらの複雑さのためにピタゴラスの定理が実際には時々間違っていたとしても、これはその数学的真理には影響しません。

同様に、チューリングマシンのモデルとP、NPなどの定義は、実際の世界よりもはるかに単純です。モデルには、重力、熱力学的エントロピーなどの要素は含まれません。P対NPの真実は、計算が実際に現実の世界で効率的に行われるかどうかには依存しません。

現在、私は、物理法則と計算法則とのより密接な関係を発見できる可能性があると私は考えています。その場合、これらの接続を考慮して、チューリングマシンの数学モデルを拡張する必要があります。次に、この新しいモデルのPとNPの新しい定義を作成し、これらが古いモデルと定義よりも「優れている」と主張する必要があります。次に、この新しい物理認識モデルでは、証明に使用される物理公理を使用できます。しかし、これは起こりそうもないようです/少なくとも私には起こりません。

— usul
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モデルを修正してPとNPを変更すると、「P対NP」と呼ばれるものではなくなり、別の問題になります。Pは実際には効率的に計算可能ではないことはすでにわかっています。Pを保持する理由は、実際の計算の現実を捉えているのではなく、Pが有用な簡略化であるためです。

— Kaveh

公平を期すために、非決定的な旋盤を構築することが不可能かどうかもわかりません。またはPostBQPマシン。奇妙なのは、作成できる計算モデルについて証明するときに、実際のものに適用されるために「より真実」と見なされるモデルについて言うことができるということです。ただし、モデル自体を実現できるかどうかは、それらについて証明できることとは無関係であるため、実行可能な実行時間のないアルゴリズムや、実際には決して実現できない計算モデルも同様に研究します。

— Phylliida、2015

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私は質問が好きです…しかし、他の貢献者が示しているように、答えはまだ「いいえ」です。質問自体は数学的であり、それが私がそれを好きな理由です。

数学と物理学は異なる認識論的宇宙であり、二人が出会うことは決してありません。数学的宇宙は、1）定義（整数など）、2）公理、および3）既知の真のステートメントからの新しい真のステートメント（Modus Ponensなど、A-> BとAがともにBを意味することを示す）を縮小することからなるルールで構成されます。物理的なオブジェクトは、そのようなユニバースに入ることができません。

物理的宇宙は問題であり、そしてショーペンハウアーが言ったように、問題は因果関係であり、因果関係は問題です。数学的なオブジェクトと証明は、物理的な世界には影響を与えません（ただし、数学的な主張とその証明を信じる人々の影響はあります）。科学は、物理世界の観測可能な現象を多かれ少なかれ忠実に説明するシステムで構成されています。カールポッパーは、この認識論を経験的改ざんの理論で最もよく捉えていると思います。科学はその説明に数学を利用していますが、科学自体は驚異的な世界ではありません。

自然現象は私たちの数学に従う必要はありません、そして私たちの数学は物理的な世界によって真か偽かを証明することはできません。しかし、数学が私たちが観察するものの側面を捉えているように見えるのは偶然ではありません-私たちはそのようにそれを作りました。驚異的な世界は、数学的な宇宙のものである定義に影響を与えました。

コンピュータは数学の世界を模倣するための究極の物理的オブジェクトであるため、この問題がコンピュータサイエンスで発生することはそれほど驚くべきことではありません。

— ガラプルエッセ
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たとえば、誰かがいつか熱力学の第2法則の仮定の下でP！= NPを証明した場合、どうなるのだろうと思います。

質問の前提は研究指向ですが、次の意味で多少前後しています。熱力学とCSの複雑さの間の深い関係は、実際に「スピングラス」の領域で実証されており、冷却中の磁気配向のセトリングプロセスは、SATで見られる相転移によく似ており、この関係は引き続き探求され、多くと見なされています。単なる偶然よりも意味があります。

ある意味では、計算上の「硬度」は、基本的な熱力学的プロセスの「説明」または基本的な数学モデルのようです。また、熱力学には永久エネルギーマシンに対する禁止事項がありますが、これは特定の「物理的な速度制限」を超えることができないマシンに対する一般的な制約と見なすこともできます。P！= NPの場合、P時間でNP問題を解決した物理マシンは存在できず、「物理法則に反する」、つまり「情報を操作する」「速度」で実行されます。しかし、多くの物理学者が物理法則を結論付けているようであり、明らかに本質的に情報の操作に帰着します。要するに、おそらく、傾向はおそらく、計算複雑性理論が基本的な熱力学法則をよりよく説明することです。

詳細については、たとえばこの博士論文（2013）を参照してください。

スピングラス、ブール充足可能性、および調査の伝播 /ラウンダウ

— vzn
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