コムロス予想における定数

8

与えられたベクトルと毎にがある、ということ、Komlos推測状態（の独立した）ように、いくつかの、について知られている最良の下限は何ですか？ $n$ $v_1,\dots,v_n\in\Bbb R^N$ $\|v_i\|_2^2\leq1$ $i\in\{1,\dots,n\}$ $c\in\Bbb R$ $n,N$ $\epsilon\in\{-1,+1\}^n$

‖ \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} v_{i} ‖_{\infty} < c .

$\Big\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iv_i\Big\|_\infty<c.$

c

$c$

最適な上限は $c=O(\sqrt{\log n})$ です。

Komlos予想が失敗するの例のセットはありますか？ $c=1+\delta$ $\delta>0$

co.combinatorics extremal-combinatorics

— T ....
ソース

が少なくともでなければならないことを確認する簡単な方法は、ベクトル、を考慮することです、および。これが答えを保証するかどうかはわかりません。

c

$c$

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$

\frac{1}{2} (1, 1, 1, 1)

$\frac{1}{2}(1,1,1,1)$

\frac{1}{2} (1, 1, - 1, - 1)

$\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)$

\frac{1}{2} (1, - 1, 1, - 1)

$\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)$

— クラウスドレーゲル、2015

@KlausDraegerはい、例の背後にあるロジックも説明できれば可能です。あなたがこれをどのように構築したのかがわかります。

— T ....

8

下限を取得する簡単な方法は、ベクトルのペアを検討することです。まず第一に、すべての -1,1線形結合が可能な限り長い単位ベクトルのペアに焦点を当てることは理にかなっています（これは興味深い特別なケースにすぎないことに注意してください。それは何らかの方法でopotimalです）。これは、が直交している場合に実現されます。可能な回転を確認すると、は、が少なくともでなければならないことを示してい。 $c\ge\sqrt{2}$ $u,v\in\mathbb{R}$ $\{-1,1\}$ $u,v$ $u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1), v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ $c$ $\sqrt{2}$

この例は、ベクトルのセットに一般化できます、番目の係数のあるた場合のバイナリ・デジットあり、および、さもなければ。 $V_k=\{2^{-\frac{k}{2}}v_{i,k}\ |\ 0\le i\le k\}\subseteq\mathbb{R}^{2^k}$ $j$ $(v_{i,k})_j$ $v_{i,k}$ $1$ $i-th$ $j$ $0$ $-1$

ノルム任意のにおけるベクターの-linear組み合わせあるの最大値に達し、での、ベクトルのセット $\infty$ $\{-1,1\}$ $V_k$ $(k+1)2^{-\frac{k}{2}}$ $\frac{3}{2}$ $k=2$

$V_2=\{\frac{1}{2}(1,1,1,1),\frac{1}{2}(1,1,-1,-1),\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)\}$ 。

より良い下限があるかもしれませんが、これは出発点です。

— クラウス・ドレーゲル
ソース

あなたの例はすでにかなり良いように思えます。でしこれよりもはるかに多くのこと？

c

$c$

— T ....

4

服用このマトリックスショーの列であること（私は発見し、計算機実験によってマトリックスを確認）。 $v_i$ $c \geq \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.633$

M = \frac{1}{\sqrt{6}} （ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix} ）

$M = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

— クリス・ジョーンズ
ソース

-3

cは上限なので、最適な下限はありません。最もよく知られている上限は、1998年にBanaszczykによって証明されました。 $O(\sqrt{\log n})$

— ヨッシ・ロンケ
ソース

7

最善の下限はありません-これが何を意味するのか理解できません。私はこの質問を「推測の説明が誤りであると知られている最大の

は何か」と解釈します。明確に定義されているようです。

c

$c$

— usul 2015

2

ターボ：わかりました、それであなたはあなたの公式を修正しました、しかしそれはまだ数学的な精度を欠いています、なぜなら私たちが知っているすべてのために、Komlos予想はfalseかもしれないので、セットのためにcの「そのような最小値」はないかもしれません下に囲まれていません。あなたの質問が「コムロス予想が真実であると仮定すると、cの最小値は何ですか？」現在知られている最良の答えは「わからない」です。usul：それは素晴らしい解釈です。誰もそれを深く調べたとは思いません。私はいくつかのアドホック実験では、私はC = 2の反例があることが判明

— ヨッシLonke

@Turbo投稿全体を削除してみませんか？

— Yossi Lonke、2015