MLTTは効果的にプロップなしのpCiCですか？

Martin-Löf型理論は基本的に、予測的ない帰納的構造の予測計算ですか？$\mathtt{Prop}$

それらが密接に関連しているが、単なるよりも多くの違いがある場合、それらの違いは何ですか？$\mathtt{Prop}$

短い答えは「はい」です。MLTTは、命令的ではなく、CICと合理的に同等と見なすことができPropます。

主要な技術的な問題は、マーティン・ロフのタイプ理論について話すとき、そしておそらくもっと驚くべきことに、CICについて話すとき、数十の変形があるということです。たとえば、Benjamin Wernerの論文で定義されているバージョンのCICを使用するとProp、Setまたはのユニバースがないため、を削除しても意味がありませんType。

これらの理論のいずれかで考慮できる主なバリエーションは次のとおりです。

1. ユニバース：数と定義方法（Palmgren、On Universes in Type Theory、多くの非等価バリエーションについて説明）、およびユニバースのポリモーフィズムが許可されているかどうか。

2. どの帰納的タイプ/ファミリー：Agdaは帰納的再帰タイプを認めますが、コンストラクターとエリミネーター内のタイプがどのくらい「大きい」か、パラメーターとインデックスの処理などに応じて、もっとありふれたバリエーションがあります。

3. 型コンストラクターの注入性。これは、AgdaのEMと矛盾するシステムにつながります。もちろん、エピグラムにはもっと極端な「観測型理論」がありますが、これはまったく別のものと考えることができます。

4. Axiom K：これは、依存パターンマッチングの特定のバージョンで無料で提供されます。

5. 意図的vs拡張：これは大きな違いです。基本的に、新しい変換ルールが拡張システム追加されます これにより、型チェックを決定できなくなります（ただし、はるかに強力です！）。Martin-Löf自身は、両方のタイプのシステムを検討したようです。

   $$\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$$

6. 共和的なタイプの存在とそれに関連する除去の原則。

上記のバリエーション（OTTを除く）はすべて文献で検討されており、主にそれぞれAgdaおよびCoqシステムとの関連が原因で、「Martin-Löf型理論」または「誘導構造の計算」という名前に関連付けられています。

したがって、長い答えは、これらのシステムのどちらの正確な定義が何であるかについてコンセンサスがないということです。