アルファベット（の大きされた例

してみましょうアルファベット、すなわちA空でない有限集合とします。文字列は、Σからの要素（文字）の有限のシーケンスです。一例として、{ 0 、1 }バイナリアルファベットであり、0110は、このアルファベットの文字列です。$\Sigma$$\Sigma$$\{0, 1\}$$0110$

通常、限り 1つの以上の元素を含む、内の要素の正確な数Σは問題ではない：最高の状態で我々は異なる、一定のどこかで終わります。言い換えれば、バイナリアルファベット、数字、ラテンアルファベット、Unicodeのどちらを使用しても問題ありません。$\Sigma$$\Sigma$

アルファベットの大きさが重要である状況の例はありますか？

私がこれに興味を持っている理由は、そのような例の1つに偶然出会ったからです。

任意のアルファベットのために我々はランダムオラクル定義O Σをオラクルすべきから戻るランダム要素Σすべての要素のための可能性があるので、すべての要素は、（返されるの等しい機会を有するように、$\Sigma$$O_{\Sigma}$$\Sigma$）。$\frac{1}{|\Sigma|}$

いくつかのアルファベットの場合はとΣ 2おそらく、異なるサイズの- -へのアクセス権を持つ神託機械のクラスを検討O Σ 1。私たちはそのように同じように動作し、このクラスでは神託機械に興味O Σ 2。言い換えれば、我々は、Oracle変換したいO Σ 1をオラクルにO Σ 2チューリングマシンを使用します。このようなチューリングマシンを変換プログラムと呼びます。$\Sigma_1$$\Sigma_2$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$

LET とΣ = { 0 、1 、2 、3 }。変換O Σ 1オラクルにO Σ 2は容易である：我々は、クエリO Σ 1回、その結果を変換することは、以下の：00 → 0、01 → 1、10 → 2、11 → 3。明らかに、このプログラムはO $\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$00 \rightarrow 0$$01 \rightarrow 1$$10 \rightarrow 2$$11 \rightarrow 3$時間。$O(1)$

今せとΣ = { 0 、1 、2 }。これら二つの言語の場合は、すべての変換プログラムが実行中のO （∞ ）からの変換プログラムが存在しない、すなわち、時間をO Σ 1のO Σ 2で実行O （1 ）時間。$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$$O(\infty)$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$

これは矛盾することにより証明することができる：変換プログラムが存在すると仮定するからO Σ 1にO Σ 2で実行中のO （1 ）時間。この手段はD ∈ NようにCが最大で行うのDへのクエリΣ 1。$C$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$$d \in \mathbb{N}$$C$$d$$\Sigma_1$

は特定の実行パスで d未満のクエリを作成する場合があります。私たちは、簡単に変換プログラムを構築することができます C "実行 Cを Oracleのクエリが行われた回数を追跡します、。してみましょう kは Oracleのクエリの数も。次に C ′は d − kの追加のoracleクエリを作成し、結果を破棄して、 Cが返したはずの結果を返します。$C$$d$$C'$$C$$k$$C'$$d-k$$C$

このように、正確にありますC の実行パス。正確に$|\Sigma_1|^d = 2^d$$C'$これらの実行パスのがもたらすC'戻り0。ただし、2$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$$C'$$0$は整数ではないため、矛盾があります。したがって、そのようなプログラムは存在しません。$\frac{2^d}{3}$

より一般的には、我々がアルファベット持っている場合はおよびΣ 2と| Σ 1 | = nおよび| Σ 2 | = kは、その後、変換プログラムから存在O Σ 1にO Σ 2は場合のみの素因数分解に現れるすべての素数であればNもの素因数分解に現れるK（因数分解のdoesnの中の素数の指数そう関係ありません）。$\Sigma_1$$\Sigma_2$$|\Sigma_1|=n$$|\Sigma_2|=k$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$n$$k$

$l$$\{0, 1, 2\}$

スーパーに立ち、夕食に何をどうしようかと悩みました。コイントスで選択肢A、B、Cを選択できるかどうか疑問に思いました。結局のところ、それは不可能です。

正式な言語理論には、2文字と3文字のアルファベットが質的に異なる動作をするいくつかの例があります。Kozenは、次の良い例を示します（言い換えます）：

$\Sigma$$\in$

Aがコンテキストフリーの場合、sort（A）はコンテキストフリーです。

$\ge$

Dinurによる PCPの定理の証明は、アルファベットサイズの操作に大きく依存しています。

具体的には、証明の全体的な構造は、グラフのサイズの回数の対数をグラフ化する技法を繰り返し適用したものです。各反復で、グラフは通常の拡張グラフに前処理され、（アルファベットサイズを拡大する）累乗で増幅されます。次に、PCP合成が適用されます（大きなアルファベットの各制約を制約のシステムに変換します）小さなアルファベット）。

このプロセスの暗黙の目標は、UNSAT値が一定の割合になるまで増幅ステップを再利用する方法を見つけることです（PCPの定理を証明します）。重要な点は、アルファベットのサイズが毎回引き戻されない限り、結果のグラフは最終的な縮小に必要なものではないということです。

$O(1)$$\{0,1,2\}$

$\{0,1,2\}$$\{0,1\}$$O(1)$ Dodis、Patrascu、およびThorupによる、およびその中の参照は、開始するのに良いポイントです。

エラー修正コードでは、バイナリコードと大きなアルファベットのコードの間に根本的な違いがある可能性があります。エラーの一部を修正するコードのGilbert Varshamovの例（基本的に貪欲またはランダムな例）は、バイナリの場合はタイトで、代数幾何学コードを介して大きなアルファベットよりタイトでないことが知られています。これにより、大きなアルファベットのエラー修正コードの標準的な定義は、バイナリエラー修正コードの適切な類似物ではないと推測する人もいます。

$\ge 3$

結果はいくぶん技術的ですが、興味があれば、関連する定理ステートメントについては、補題8とセクション4.1を対比できます。