線形拡張グラフの次数セット

線形延長 poset用のの要素に線形順序でように、における意味にすべてのため。 $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

線形拡張グラフは、 2つの線形拡張が正確であれば、彼らはジFF要素の一つ隣接スワップにおけるER隣接するposetの線形延長部の組のグラフです。

次の画像上に存在として知られているposetである -posetは、その線形拡張グラフであり、ここで。 $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

代替テキスト（この図は作品から引用したものです。）

線形拡張グラフ（LEG）を研究するとき、 -LEGの最大次数、それぞれ、最小次数の場合、LEGの次数セットはおよびそれぞれ構成されるという考え（推測）を思いつくことができます。それらの間の自然数。例えば、のシェブロンとして知らposetをみましょう、そのLEGにを有するおよび、そしてまた、我々の推測によれば、度4と3と頂点はに含まれていますグラフ。それで、問題は、この推測を証明または反証できるかということです。 $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

LEGについて、また、ここでMareike Massowの論文で読むことができるように見えます。シェブロンとそのLEGは、論文の23ページで見ることができます。

次数セットには、Kapoor SF et alによる古典的な論文「グラフの次数セット」があります。

graph-theory co.combinatorics

— オレクサンドル・ボンダレンコ
ソース

線形拡張グラフとは何ですか？つまり、定義を質問に組み込んで、もう少し自己完結型にすることができますか？

— Suresh Venkat

この予想はかわいいです。推測の動機や既知の用途はありますか？（別の推測への縮小を言ってください。）

— Hsien-Chih Chang張顯之

この推測の@ Hsien-Chih Chang動機は、与えられた線形拡張グラフの最大および最小次数を知るだけで、次数セットの内容を知ることを証明するときです。

— オレクサンドルボンダレンコ

昨日証明したと思う。したがって、ここに証明のスケッチを示します。最初に、次の補題が証明されます。

補題。LET -半順序、 -その線形拡張グラフと -の二つの隣接する頂点。その後。 $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

証明のスケッチ。

同時に、は線形拡張であるため、それらの1つ、たとえば、隣接する要素の1つの転置（隣接転置）によって変換できます。線形拡張任意の要素は、最大2つの比較不可能な隣接要素の数を変更できることを簡単に確認できます（たとえば、上の図のとを考慮してください）。 $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

場合すべての後、少なくとも一つのその隣に置き換えることができ、言う、それに比類のないです（、その後、同程度の場合）。注：転置する前に、あり、直後に $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ 。 $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
私たちはincomparabilitiesの数（内頂点として線形拡張の度合い方法を検討してみましょう中）変更することができます。最初にペアを検討します。以下のためと同じ結論が対称性によって、次の。 $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

場合、次いで、変化しません。もし、次いで、 $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ ずつ増加（減少）します。証明のスケッチが完成しました。 $deg(L)$

定理。Let -線形拡張グラフ。場合頂点が含まと、そこである、その結果 $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ 。 $deg(v_3)=k+1$

証明のスケッチ。

仮定するに隣接する、度そうでなければ、任意の頂点におけると隣接しています次数存在する頂点がある場合。 $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

前の補題からがあり、次のような場合を考えてみましょう。 $L_1,L_2$

及び

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

したがって、です。 $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

私たちは今、転置始めましょうの方向に。最終的には、次の位置で停止できることがわかります。 $x_{i+1}$ $x_1$

いくつかのために。証明のスケッチが完成しました。

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— オレクサンドル・ボンダレンコ
ソース

定理の証明では、最初の文には従いません。表記に関しては、私は通常見てきた

ことを示すために使用される

し、

同等です。

x \sim y

$x \sim y$

x

$x$

y

$y$

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamon 定理証明の最初の文に明確化（

）を追加しました。

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$

— オレクサンドルボンダレンコ

@アンドラス・サラモン

、例えば、ここでは同じように使用されます。smartech.gatech.edu/bitstream/1853/33810/1/...

x ⊥ y

$x\perp y$

— オレクサンドルボンダレンコ