語（つまり、無限語）を受け入れるオートマトンを最小化する

Büchi-Automata（またはMüller-Automata）を最小化するための標準的なアプローチは何ですか？有限の単語から通常の手法を移す、つまり、受け入れられる状態の「不足」という単語が同じである場合に2つの状態を等しく設定することは、機能しません。たとえば、Büchi-Automotonが、初期状態と最終状態の2つの状態で構成される無限数のaを持つすべての単語を受け入れる場合を考えます。aが読み込まれるたびに最終状態に入り、aが読み込まれるたびに初期状態に入ります。別の記号が読み取られます。上記の定義では両方の状態が等しいと見なされますが、それらを折りたたむと、単一の状態で構成されるオートマトンが生成され、それによってすべての単語を受け入れます。

fl.formal-languages automata-theory

— ステファンH
ソース

回答:

一般に、通常の言語には、固有の最小DBWがない場合があります。例えば、言語は「無限にAの多くと無限に多くのBさん」（絵に置き換える2つの3ステートDBWSを持っているによって）： $\omega$ $\neg a$ $b$ 同じ言語の2つの最小DBW

ご覧のとおり、これらはトポロジ的に等価ではありません。

したがって、最小化問題は有限の場合よりも困難であり、実際にはNP完全です。

— シャウル
ソース

私は3つの3状態の決定論的なBüchi-Automataを見つけました。2つは構造的に非常によく似ています（遷移のラベルが異なるだけです）。

— StefanH 2014

@Stefan-例を追加しました。

— Shaull、2014

左のものも持っていますが、別のものもあります。質問の編集として投稿しました。

— StefanH 2014

追加したオートマトンが正しくありません-それは言葉受け付けません

(b a b)^{ω} = b a b b a b b a b b a b . . .

$(bab)^\omega=babbabbabbab...$

— Shaull、2014

DBWを考えると、

アルファベット（バイナリなど）を考えると、問題がまだ難しいのではないかと思っていました。どう思いますか？そして、同等の状態に関して、必要な同等の状態の数をどうにかして制限することはできませんか？！たとえば、1つの外向き矢印（「true」というラベル）で状態の数を制限できると思います。

c o n s t a n t

$constant$

— Bader Abu Radi

この問題は80年代に多くの文学を生み出しました。これは私がこの回答で要約しようとするかなり長い話です。

1.有限語の場合

文献では、最小DFAの2つの定義を見つけることができます。1つ目は、通常の言語の最小DFAを、その言語を受け入れる最小数の状態を持つ完全なDFAとして定義することです。2番目のものは定義するのにより長いですが、最初のものより数学的に魅力的で、より強い特性を与えます。

$(Q, A, \cdot, i, F)$ $q \in Q$ $u \in A^*$ $i \cdot u = q$ $q \cdot a$ $q \in Q$ $a \in A$

${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$ ${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$ $\mathcal{A}_1$ $\mathcal{A}_2$ $\varphi:Q_1 \to Q_2$

$\varphi(i_1) = i_2$
$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
$q \in Q_1$ $a \in A$ $\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

$\varphi$ $|Q_2| \leqslant |Q_1|$ ${\cal A}_1$ ${\cal A}_2$ ${\cal A}_1$ ${\cal A}_2$ $L$ ${\cal A}_L$ $L$ $\cal A$ $L$ $\cal A$ ${\cal A}_L$ 。このオートマトンが呼び出され、最小のDFAの。の状態の数は状態の数よりも少ないため、も最初の意味で最小であることに注意してください。 $L$ ${\cal A}_L$ $\cal A$ ${\cal A}_L$

不完全な DFAには適切な代数的定義もあることに言及する価値があります。[Eilenberg、Automata、Languages and Machines、vol。A、Academic Press、1974]。

2.無限の言葉に戻る

Shaullの回答で示されているように、最初の定義の拡張は機能しません。そして残念なことに、いくつかの特定の場合を除いて、2番目の定義の普遍的な特性が無限の単語にまで及ばないことを示すこともできます。

物語の終わりですか？ちょっと待ってください。通常の言語を受け入れる最小限のオブジェクトがあります...

3.構文アプローチ

最初に再び有限の言葉に戻りましょう。言語リコールことのさ モノイドのにより認識が存在する場合、A全射モノイド射と部分集合のように。再び、モノイド存在すると呼ばれ、構文モノイドの認識し、と認識全てモノイドの商であり、。この構文モノイドは、構文的合同によって、商として直接定義できます。 $L$ $A^*$ $M$ $f:A^* \to M$ $P$ $M$ $f^{-1}(P) = L$ $M(L)$ $L$ $L$ $L$ $A^*$ $\sim_L$ $L$ 、次のように定義：良い知らせは、今回、このアプローチは無限の言葉に拡張されましたが、適切な概念を発見するのに長い時間がかかりました。まず、構文合同の、適切な概念はA.アーノルド（合理的なのための構文合同によって発見されました -languages、Theoret。Comput。サイ。39、2-3（1985）、333-335）。構文モノイドを無限の単語の設定に拡張するには、より洗練されたタイプの代数が必要でした。これは、最初にそれらを定義したT. Wilkeに敬意を表してWilke代数と呼ばれます（T. Wilke、有限および無限の通常言語の代数理論言葉、

u \sim_{L} v if and only if, for all x, y \in A^{*}, x u y \in L ⟺ x v y \in L

$\text{$u \sim_L v$ if and only if, for all $x, y \in A^*$, $xuy \in L \iff xvy \in L$}$

ω

$\omega$ Int。J. Alg。計算。 3（1993）、447–489）。詳細については、D。ペリンと共著した私の著書「Infinite words」を参照してください。

4.まとめ

したがって、与えられた通常の -language を受け入れる最小オブジェクトの数学的に健全な概念がありますが、それはオートマトンに依存しません。これは実際にはかなり一般的な事実です。オートマトンは非常に強力なアルゴリズムツールですが、言語に関する数学的な質問を処理するには必ずしも十分ではありません。 $\omega$

— J.-E. ピン
ソース