Martin-Löf型理論の最小仕様

私は、Martin-Löfs型理論の正式なプレゼンテーションを読んでいます（HoTT本の付録）。著者らは、次に、ユニバースの階層を導入Π 、Σ 、+ 、0、1、またW -typesならびに自然数N（誘導を介して0とS U C C）。最終的には、より高い誘導型も追加します。$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

しかし、その後、理論仕様でNを実行する必要があるのはなぜかと思います。しない1と+と代数たの化身で、データ型をW -typesを、それを設定するには十分？たとえば、初期代数アプローチを使用します。（または、少なくともMLTTからHoTTに誘導型がある場合-結局、整数Zは理論内で円型Sのホモトピー群として現れます。）$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

それとも、プレゼンテーションのNのすぐ隣で定義されている、最初からプリミティブな再帰を行う必要があるのでしょうか？これは、そのフレームワークで「定義がどのように定義されるか」、または言語の拡張がどのように機能するかを正式に知らないため、私が持っているアイデアです。ユニバースの階層が定義されている場合、少なくとも数字と「より大きい」という非公式の概念がすでに使用されていることを認識していることを付け加えます。$\mathbb N$

Nに余裕があり、仕様が最小限ではない場合、原則としてドロップできる他のアイテムはありますか？例えば私が想像できる2を、その後、+のいくつかの組み合わせから来るΠ 、Σ 、0、1、私はそれを行うことができませんでした。$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

HoTT本の付録に記載されているシステムの目的は、本で使用されているものに対応するものを提示することです。本は教育的であることを目指しています。したがって、すべてを最小限の方法で行うのは悪い考えです。たとえば、Nを個別に紹介します。これは、よく知られているケースで帰納的構造がどのように機能するかを理解するのに役立つからです。$\mathbb{N}$

0と2だけが必要な一般的なWタイプから帰納的なタイプを開始するには、あなたは完全に正しいです。すぐに1を0 → 0として取得し、2とΣから+を取得します。それができたら、すべての有限和1 + 1 + ⋯ + 1を取得します。この時点で、通常の代数データ型を簡単に実行できます。$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

0をドロップしてΠ、Σ、1および2から開始する場合、作成するすべてのタイプが常駐するため、0を戻すことはできません。$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

あなたが唯一持っていると仮定Π、Σ、0と1を。すると、作成するすべての構造が0または1を返すことを示すことができるため、2を作成することはできません。実際、あなたは面白い扶養家族をまったく作ることができません。大きいの下では閉じているタイプのファミリーΠ、Σ、0と1が、含まれていない2である（- 1 ） -types（命題）。$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$