リプトンの最も影響力のある結果

リチャード・J・リプトンは、 「新しいアイデアとテクニックの紹介のために」2014年クヌース賞の受賞者に選ばれました。

リプトンが開発した主な新しいアイデアとテクニックは何ですか？

注意。この質問はコミュニティWikiになります。回答ごとにそのようなアイデア、テクニック、または結果を1つ入力してください。

平面セパレータ定理は、任意の平面内と述べ -vertexグラフGの組が存在するOが（$n$$G$削除すると、グラフは少なくとも2つのほぼバランスの取れたコンポーネントに切断されたままになります。さらに、そのようなセットは線形時間で見つけることができます。リプトンとタージャンによって証明されたこの（厳密な）結果（Ungarによる以前の結果の改善）は、平面グラフのアルゴリズムを設計するための強力なツールです。NP困難な問題に対する多くの正確な準指数時間アルゴリズムと、改良された多項式時間近似アルゴリズムを提供します。ウィキペディアのページを見ると、多数のアプリケーションを調べるのに適した出発点になります。初期の調査アプリケーションの数の詳細とは、1980年にリプトンとTarjanによって書かれました。$O(\sqrt{n})$

Karp-Lipton定理は、多項式階層が2番目のレベルに崩壊しない限り、が多項式サイズのブール回路を持つことはできないと述べています。$\mathsf{NP}$

複雑性理論に対するこの定理の2つの意味：

• おそらく多項式サイズのブール回路はありません。したがって、回路サイズの下限を証明することは、複雑度クラスを分離するための可能なアプローチです。$\mathsf{NP}$
• いくつかの結果は、この定理に基づいて複雑度クラスの分離を証明しています（たとえば、Kannanの定理）。

パーマネントのランダムな自己還元性。リプトンは、すべてのF n × nの分数のパーマネントを正しく計算するアルゴリズムが存在する場合、Fはサイズが少なくとも3 nの有限体である場合、このアルゴリズムを次のように使用できることを示しました任意のマトリックスのパーマネントを高い確率で計算するブラックボックス。$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

主な考え方は、パーマネントが低次の多項式であるため、単変量アフィン関数使用した合成は低次の単変量多項式（x内）であり、補間によって少数の値から正確に学習できることです。 。ランダムBを選択して、構成が任意のxのランダム行列のパーマネントとして配布されるようにすることができます。x = 0単変量多項式はただの永久的であるA。詳細については、Arora Barakの第8章を参照してください。$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

この代数的アプローチは、複雑性理論に非常に大きな影響を与えています。リプトンのアイデアは、最終的にIP = PSPACE定理の証明、PCP定理の証明、およびローカルエラー訂正コードの結果につながりました。

以下の説明が歴史的に正確であるかどうか、100％確信はありません。そうでない場合は、自由に編集または削除してください。

突然変異試験はリプトンによって発明されました。突然変異テストは、テストスイートの品質または有効性を測定する方法と見なすことができます。鍵となるアイデアは、テストするプログラムに障害を注入すること（つまり、プログラムを変更すること）、できれば人間のプログラマーが行う可能性のある障害の種類、およびテストスイートが導入された障害を見つけるかどうかを確認することです。導入される障害突然変異テストの種類の典型的な例は、x> 0をx <0で置き換えるか、xをx + 1またはx-1で置き換えることです。テストスイートで検出された障害の割合は、テストスイートの「突然変異の妥当性スコア」です。非常に大まかに言えば、これは突然変異の妥当性スコアを計算するためのモンテカルロ法と考えることができます。

より抽象的に言えば、突然変異テストは、プログラムとそのテストスイートの対称性または二重性を前面にもたらすと言うかもしれません。テストスイートを使用して、プログラムの正確さについてより自信を持つだけでなく、逆に、プログラムをテストスイートの品質に関する信頼を得るために使用されていました。

この二重性に照らして、変異テストは概念的にはフォールトインジェクションにも近いです。どちらも技術的には似ていますが、目的は異なります。突然変異テストでは、テストスイートの品質を測定しようとしますが、フォールトインジェクションでは、プログラムの品質（通常はエラー処理の品質）を確立しようとします。

最近、突然変異テストのアイデアが論理理論（の定式化）のテストに使用されています。（4）の要約を言い換えると、定理証明器で自明でない形式化を開発する場合、仕様と定理の「デバッグ」にかなりの時間が費やされます。通常、証明の試行に失敗すると、誤った仕様または定理が発見されます。これは高価なデバッグ形式です。したがって、証拠に着手する前に推測をテストすることがしばしば有用です。これを行う可能な方法は、推測の自由変数にランダムな値を割り当て、それを評価することです。（4）突然変異を使用して、使用されたテストケースジェネレータの品質をテストします。

歴史。（1）から：突然変異試験の歴史は、リチャード・リプトンによる学生論文で1971年までさかのぼることができます。（2）およびHamlet（3）。

1. 変異テストリポジトリ：変異テスト理論。

2. RAデミロ、RJリプトン、FGセイワード、テストデータ選択のヒント：実践的なプログラマーのヘルプ。

3. RG Hamlet、コンパイラを使用したプログラムのテスト。

4. S. Berghofer、T。Nipkow、イザベル/ HOLでのランダムテスト。。

Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Lemmaは、計算の複雑さの基本的なツールです。基本的に、算術回路がゼロ多項式を表すかどうかを知りたい場合、1つの入力で回路を評価するだけです。次に、回路がゼロ多項式を表していない場合、高い確率で非ゼロ値を取得します。

この問題に対して多項式時間決定論的アルゴリズムは知られていないため、これは特に重要な補題です。

補題は通常、シュワルツ・ジッペル補題として知られています。この補題の歴史は、リプトン自身のブログで見つけることができます。

ベクトル加算システムのカバー可能性はEXPSPACE困難です。RJリプトンでは、到達可能性の問題には指数関数空間が必要です、リサーチレポート63、エール大学、1976年。

ベクトル加算システム寸法の（ペトリネットに相当VAS）対として定義される⟨ V 0、A ⟩ V 0で非負整数のベクトルであり、Nの D及びAは、のベクトルの有限集合でありますZ dに含まれる整数。A VASはで構成上の遷移システムを定義するN個の D V → V 'が存在する場合はuが中ように、V ' = V + $d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$（の成分が負になることはないことに注意してください）。被覆性の問題、VAS所与のターゲットベクトルVにおけるN個の Dは、実行が存在するかどうかを尋ねるVを0 → V 1 → ⋯ → V N VASのようにV N ≥ V上の製品発注のためのN D、すなわちV N（I ）≥ V （I ）のために、すべての1 ≤ I ≤ $v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$。1978年にC. Rackoffによって証明されたEXPSPACEの上限と組み合わせると、リプトンの結果はEXPSPACEの完全性を示しています。

リプトンのブログで詳しく述べたように、この結果は、v n = vを代わりに必要とする（一見？はるかに難しい）到達可能性問題の最もよく知られている下限を提供します。興味深いことに、到達可能性が決定可能と示される前に証明されました。下限およびそれを証明するために採用された手法は、さまざまなクラスのカウンターシステムとの関係で、また他のクラスのシステムまたはロジックで間接的に再利用されています。$v_n=v$

マルチパーティの通信の複雑さと額の額モデルは、アショクK.チャンドラ、メリックL.ファースト、リチャードJ.リプトンによって、マルチパーティプロトコル、STOC 1983、doi：10.1145 / 800061.808737で紹介されました。

マルチパーティモデルは、通信の複雑さのYaoの2パーティモデルの自然な拡張であり、アリスとボブはそれぞれ重複しない入力ビットの半分を持ち、入力全体の所定の関数を計算するために通信したいと考えています。ただし、多くの場合、入力ビットのパーティションをより多くのパーティに拡張することはあまり興味深いことではありません（下限については、通常、最初の2つのパーティのみを考慮することができます）。

$k$$k$$n$

$n$

$N$$k$$N$$k=3$$N$$O(\sqrt{\log N})$$N \le k(2^n-1)$$O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$