最小分解可能な分解

2つの多面体を考えるとと、と多面体の有限集合がある場合ですequidecomposableあるとようとすべてのために一致している、および。とが等しい面積のポリゴンである場合、そのような等分解は常に存在し、高次元では一般にこれが成り立たないことが知られています。 $P$$Q$$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$P_i$$Q_i$$i$$P = \cup_{i=1}^n P_i$$Q = \cup_{i=1}^n Q_i$$P$$Q$

最小等分解問題の複雑さについて知りたいです。

2つのポリゴンおよび、を最小化する等分解およびを見つけます。$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$n$

これのためのアルゴリズム（正確、多項式、指数、近似）はありますか？複雑さはわかっていますか？

整数座標を使用する切断された1次元領域の場合、最小数のピースへの等分解は、3SUMへの簡単な還元により強くNP困難です。1つの形状に3SUM入力の長さのセグメントがあり、もう1つの形状にビンの長さのセグメントがある場合それらをパックする必要があります。その後、3SUMインスタンスが解決可能であれば、追加の切断なしでそれを行うことができます。2次元ポリゴンの場合、接続された領域であってもハードのままです。1次元の問題のセグメントを厚さ1の長方形に厚くし、問題の3SUM部分に影響を与えるには小さすぎる領域を持つ細い「文字列」で接続します。しかし、分解で処理するのは簡単です。

（免責事項：私はこの削減のアイデアを、他のいくつかの問題の困難さに関する他の多くの人々との未発表の共同作業から借りました。）