所与

ここに、ジュンタの学習に似たフレーバーの問題があります。

入力： A関数、会員オラクルで表される、すなわち、Oracleの所与、戻り。 $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ $x$ $f(x)$

目標：サブキューブ検索のボリュームとともにこのような。そのようなサブキューブが存在すると仮定します。 $S$ $\{0,1\}^n$ $|S|=2^{n-k}$ $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$

すべての方法でサブキューブを選択し、それぞれの平均値をサンプリングすることにより、時間で実行され、確率正解を返すアルゴリズムを取得するのは簡単です。 $n^{O(k)}$ $\ge 0.99$ $(2n)^k$

時間内に実行されるアルゴリズムを見つけることに興味があります。または、下限は大きいでしょう。この問題はフンタの学習に似た風味を持っていますが、計算の難しさの間には実際のつながりはありません。 $poly(n,2^k)$

更新：以下の@Thomasは、この問題のサンプルの複雑さがことを証明しています。興味深い問題は、依然として、問題の計算の複雑さです。 $poly(2^k,\log n)$

編集：簡単にするために、サブキューブが存在すると仮定できます（予告ギャップ：私たちは、平均でサブキューブを探している。）私はかなり確信してギャップを持つ問題への解決策にも隙間なく、問題を解決しますよ。 $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ $\ge 0.1$

— メビウスdump子
ソース

サンプルの複雑さのより良い限界は次のとおりです。（計算の複雑さはまだです。） $n^k$

定理。 ようなサイズサブキューブが存在すると仮定します。、我々は、高い確率で、サブキューブを識別することができる試料のサイズのよう $S$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$ $O(2^k \cdot k \cdot \log n)$ $S'$ $2^{n-k}$ 。 $|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

パラメーターのわずかな損失に注意してください（保証に対してが最適です）。 $0.12$ $0.1$

証明。ピック点一様にランダムとクエリで毎に。 $m$ $P \subset \{0,1\}^n$ $f$ $x \in P$

$S$ $2^{n-k}$ $\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

P [| S \cap P | < m 2^{- k - 1}] \leq 2^{- Ω (m 2^{- k})} .

$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$

P [| E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | > ε] \leq 2^{- Ω (| S \cap P | ε^{2})} .

$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$

すべての上に拘束組合によっての選択肢、我々が持っているしたがって、を選択することにより、少なくとも確率で、は、サイズすべてのサブキューブについて内に。 ${n \choose k}2^k$ $S$

P [\forall S | E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | \leq ε] \geq 1 - (\binom{n}{k}) 2^{k} 2^{- Ω (m 2^{- k} ε^{2})} .

$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$

m = O (2^{k} / ε^{2} \cdot k \log n)

$m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$

0.99

$0.99$

E_{x \in S} [f (x)]

$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$

ε

$\varepsilon$

S

$S$

2^{n - k}

$2^{n-k}$

設定すると、定理が証明されます。最大のサブキューブを選択する高い確率で、要件を満たします。QED $\varepsilon=0.01$ $| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$

— トーマスがモニカをサポート
ソース

ああ、まあ、私はどれほど愚かです：はい、基本的な考え方は、ポイントをサンプリングすると、それらの予想されるが各サブキューブにあるため、適度な値で大きなすべてのチェルノフの境界を結合した後でも、問題を解決するのに十分なサンプルサイズ。また、0.1と0.12の間のギャップを解消するために任意のソリューションを適応できると確信しているため、質問へのコメントとしてこれを追加します。ありがとう!!

C \cdot 2^{k}

$C \cdot 2^k$

C

$C$

C

$C$

n^{k}

$n^k$

— メビウスdump子14

これを見る別の方法は、あなたが記述する範囲空間が粉砕次元を制限し、それゆえVC次元を制限し、それでeps近似の定理を投げることです。

— Suresh Venkat 14