全単射関数を反転させるアルゴリズム。

任意の全単射関数の逆関数を見つけるための一般化されたアルゴリズムはありますか？

• このアルゴリズムが役立つためには、正しい答えが見つかると、最終的に停止する必要があります。
• 最終的に解を見つけなければならないという要件を超えて、逆関数を見つけたり実行したりするのにかかる時間に制約はありません（そのことを念頭に置いて、ブルートフォースの推測とチェックよりも優れた方法がより興味深いでしょう）。

たとえば、そのような一般化されたアルゴリズムが存在する場合、それは可逆圧縮アルゴリズムの解凍アルゴリズムを解くことができます。

編集：

Evgenij Thorstensenの仮定が私の質問をかなり上手くまとめてくれたので、本当に気に入りました。

仮定

• 固定アルファベットに対する計算可能な全単射関数（たとえば、{0、1}）
• それを計算する決定論的チューリングマシン（DTM）で表される
• 提案されたアルゴリズムは、元の全単射関数の出力を反転させるDTMを解くことができます。

それを説明する別のショット：

指定：FドメインAのXをドメインBのYにマップする全単射関数。

提案されたアルゴリズムは、全単射関数を解くことができなければならないGように、ドメインAからX上のドメインBからYをマッピングG(F(X))=Xし、F * G = Iここで、I恒等関数です。

全単射関数のアルゴリズムを逆関数のアルゴリズムに自動的に変換することに関する論文があります。私自身の最初の会議論文はそのようなものでした。しかし、他の回答がすでに示唆しているように、この方法で反転できるアルゴリズムのクラスは厳しく制限されています。

完全に構造化されていないドメインで実行できる最善の方法は、ブルートフォース検索であり、ドメインのサイズに比例して時間がかかります。ただし、対象のドメインがnビット文字列の場合、nは指数関数です。

（効率的な完全汎用関数インバーターがある場合、整数乗算関数を反転すると効率的な因数分解アルゴリズムが得られることに注意してください。）

@arnabがコメントで指摘したように、一方向の順列は暗号プリミティブです。任意の関数を効率的に反転させたい場合は、（因数分解に加えて）克服する暗号化の障壁があります。

このページの多くの人がすでに一般的な解決策は扱いにくいかもしれないとすでに指摘しています。

可逆プログラミングに興味があれば、すべてが失われることはありません。与えられた関数の逆を見つける代わりに、可逆関数の合成から関数を作成することもできます。その場合、逆を見つけることは簡単です。

このアプローチの例（Haskellを使用）は、このペーパーで説明されてい ますhttp://www.cs.ru.nl/A.vanWeelden/bi-arrows/

たまたまそうなっているので、Biarrowを使用して圧縮アルゴリズムの1つの方向のみを記述し、もう1つの方向（解凍）を無料で取得できるようにしました（無料は間違った単語である可能性があります。言語サポートがないため、使いにくいです）。 。

これは、いくつかの強力な仮定の下でのハンドウェーブアルゴリズムです。

仮定

• 固定アルファベットに対する計算可能な全単射関数（たとえば、{0、1}）
• それを計算する決定論的チューリングマシン（DTM）で表され、「その他」ではない（下記参照）
• 入力DTMが全単射関数を計算しない場合、何が起きるかは気にしません

これらの仮定により、入力DTMを確認し、すべての遷移を反転させることができます（停止状態は開始状態になり、読み取りは書き込みになり、その逆も同様です。最後から読み取る、左が右など）。TMは決定論的であり、計算される関数は全単射であるため、結果もTMであり、逆を計算します。

乗算は全単射ではないため、これは因数分解には機能しません。素数の乗算は、次数を無視するとですが、数値を乗算するTM は、必要な全単射関数を「のみ」計算しません。「多すぎ」を計算するため、2番目の仮定（はい、かなり強いです）です。これは表現についてのコメントとうまく結びついています。