順列なしでソートできますか？

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これは転位によって順列をソーティングすることであることはよく知られている転位の最小数をソートするために必要に応じて、正確である $\sf{P}$ $\pi \in S_n$ $inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$ 。この「反転数」の概念は、代数的組み合わせ論にも応用されます。たとえば、、permutohedronと呼ばれる弱いBruhat順序に基づく格子構造を付与することができます。 $S_n$

グループ理論の用語で問題を再構築することは明らかです。我々はグループ与えられている発電機セットととマッピング、および他のグループどの推移的に作用し、我々は次のような問題解決したい：与えられた、最小の長さを見つけますように。順列の場合、 $G$ $\Gamma$ $i_G : \Gamma^* \rightarrow G$ $H$ $G$ $h \in H$ $w \in \Gamma^*$ $i_G(w).h = 1_H$ およびは転置のセットです。 $G = H = S_n$ $\Gamma$

質問：効率的なアルゴリズムを認めるこの問題の他の例はありますか？

sorting

— NisaiVloot
ソース

さて、問題は簡単で、おそらくあるとき

G = \prod_{i} Z_{r_{i}}

$G=\prod_i Z_{r_i}$

— 餃子メビウス

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あなたの質問に対する明確な答えはありませんが、「編組ソーティング」が候補のようです。このウィキペディアのエントリによれば、次のように定義できます。ましょ基であり、およびlet タプルの集合を表すように、。我々が許可すれば編組基であるに移動することによって生成された、我々は、アクションを定義することができる $X$ $H$ $(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$ $x_1 \ldots x_n = 1_X$ $G$ $B_n$ $\sigma_i$ $B_n$ 以上： $H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

すなわち、ある位置にスワップの作用および結合を組み合わせと。この問題を多項式時間で最適に解決できる可能性があります。これにより、質問に答えることができます。 $\sigma_i$ $i$ $i+1$

— NisaiVloot
ソース

4

Mark Jerrumによる次の論文は、および（交互グループ）のときに言及した問題を研究しました。 $G=H=S_n$ $G=H=A_n$

Mark Jerrum：最小長ジェネレータシーケンスを見つけることの複雑さ。理論。計算します。科学 36：265-289（1985）http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975 (85)90047-7 。

$G=H=S_n$ $\Gamma$ $w$

— 岡本義雄
ソース