CoqにPropがあるのはなぜですか？

Coqには、関係のない命題のProp型があり、抽出中に破棄されます。Coqを証明にのみ使用する場合、これがある理由は何ですか。Propは命令型であるため、Prop：Propですが、Coqは自動的にユニバースインデックスを推測し、代わりにType（i）をどこでも使用できます。Propはすべてを複雑にしているようです。

Luoの本にはSetとPropを分離する哲学的な理由があると読みましたが、本にはそれらが見つかりませんでした。彼らは何ですか？

は、プログラムの抽出に非常に役立ちます。これは、役に立たないコード部分を削除できるためです。たとえば、私たちは「すべてのリストのための声明証明するソートアルゴリズム抽出する ℓをリストがある kのように kを命じたとされ、kはのpermutatiomある ℓを」。これをCoqに書き留め、 P r o pを使用せずに抽出すると、次のようになります。$\mathtt{Prop}$$\ell$$k$$k$$k$$\ell$$\mathtt{Prop}$

1. 「すべてのためありkは私たちにマップ与えるだろう」リストにリストを取り、$\ell$$k$sort
2. 「が順序付けられるように」は、kを実行して、ソートされていることを確認する機能を提供します。$k$verify$k$
3. 「の順列であるℓ順列与える」かかりℓのにKを。これは単なるマッピングではなく、2つのマップが実際に逆であることを検証するプログラムと一緒の逆マッピングでもあります。$k$$\ell$pi$\ell$$k$pi

余分なものはまったく役に立たないわけではありませんが、多くのアプリケーションではそれを取り除き、そのままにしておきたいと思っていますsort。これは、我々が使用している場合は、達成することができます状態に「kが」注文され「とkはの順列であるℓ」、しかしない「すべてのためℓありK」。$\mathtt{Prop}$$k$$k$$\ell$$\ell$$k$

一般的には、エキスコードへの一般的な方法は、フォームの声明を検討することであるxが入力され、 yは出力であり、 φ （X 、Yは）のためにそれが何を意味するかを説明し、Yは正しい出力します。（上記の例では A及び Bリストのタイプであり、 φ （ℓ 、kは）されている「 kは順序付けされ、 kはの順列である ℓ場合。」） φは、である PのR oをP次いで抽出マップを与える fは$\forall x : A \,.\, \exists y : B \,.\, \phi(x, y)$$x$$y$$\phi(x,y)$$y$$A$$B$$\phi(\ell, k)$$k$$k$$\ell$$\phi$$\mathtt{Prop}$ように φ （X 、F （xは））全てに当てはまるのx ∈ A。場合 φは、であり、 SのEのT我々はまた、機能取得 gがあるよう G （xは）ことの証拠である φ （X 、F （xは））全てについて、保持 X ∈ $f : A \to B$$\phi(x, f(x))$$x \in A$$\phi$$\mathtt{Set}$$g$$g(x)$$\phi(x, f(x))$$x \in A$。多くの場合、証明は計算上役に立たないので、特に他のステートメントの内部に深くネストされている場合は、それを取り除くことを好みます。はそうする可能性を与えてくれます。$\mathtt{Prop}$

2015-07-29を追加：「無駄な抽出コード」を自動的に最適化することで、完全に回避できるかどうかという疑問があります。ある程度はできます。たとえば、ロジックのネガティブフラグメント（空の型、ユニット型、製品から構築されたもの）から抽出されたすべてのコードは、ユニットをシャッフルするだけなので役に立たない。しかし、P r o pを使用する際には、真正な設計上の決定が必要です。ここでsimpe例であり、ここで、Σの手段我々はであることTのY用のp Eと∃我々はであることを意味PのR O P。から抽出する場合 $\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\Sigma$$\mathsf{Type}$$\exists$$\mathsf{Prop}$ 我々が分解プログラム取得する n個の最下位ビットに Bと残りのビットの Kすなわち、それはすべてを計算します。我々は、から抽出する場合 Π N ：N ΣのB ：{ 0 、1 } ∃ K ：

$$\Pi_{n : \mathbb{N}} \Sigma_{b : \{0,1\}} \Sigma_{k : \mathbb{N}} \; n = 2 \cdot k + b$$ $n$$b$$k$ その後、プログラムは、最下位ビット計算する Bを。マシンはどちらが正しいかを判断できず、ユーザーは自分が何を望んでいるかを伝える必要があります。 $$\Pi_{n : \mathbb{N}} \Sigma_{b : \{0,1\}} \exists_{k : \mathbb{N}} \; n = 2 \cdot k + b$$ $b$

はimpredicativeであり、非常に表現力のある証明システムを作成します。ただし、次の意味では「あまりにも」表現力があります。$\mathrm{Prop}$

$$\mathrm{impredicative\ Prop} + \mathrm{large\ elimination} + \mathrm{excluded\ middle}$$

一貫性がありません。通常、除外されたミドルを追加する可能性を維持するため、1つの解決策は、大規模な除去を維持し、Propを述語にすることです。もう1つは、大規模な消去を抑制することです。

Coqは両方を行いました！彼らは述語のPropをSetに改名し、Propの大規模な消去を無効にしました。

不可逆性によって得られる表現力は、「合理的な」数学の99％を定式化できるという意味で「安心」であり、集合論に関連して一貫していることが知られています。これにより、予測可能なユニバースのみを持つAgdaのようなものに弱体化しない可能性が高くなります。

プログラムの抽出に興味がなくても、Prop命令的であるという事実により、予測不可能な宇宙の塔を使用して構築できないモデルを構築できます。IIRC Thorsten Altenkirchには、Coqの不可逆性を使用したSystem Fのモデルがあります。