計算理論の分野へのラムダ計算の貢献は何ですか？

私はラムダ計算を読んで「それを知る」だけです。これは、チューリングマシンとは対照的な代替の計算形式と考えています。これは、関数/リダクションを使用して物事を行う興味深い方法です（粗雑に言えば）。いくつかの質問が私をしつこく続けます：

• ラムダ計算のポイントは何ですか？なぜこれらすべての機能/削減を経るのですか？目的は何ですか？
• その結果、私は疑問に思っています：ラムダ計算はCSの理論を前進させるために正確に何をしましたか？その存在の必要性を理解する「アハ」の瞬間を持つことができるのは、どのような貢献でしたか？
• なぜラムダ計算はオートマトン理論のテキストに含まれていないのですか？一般的なルートは、さまざまなオートマトン、文法、チューリングマシン、複雑度クラスを通過することです。ラムダ計算は、SICPスタイルのコースのシラバスにのみ含まれています（おそらくそうではありませんか？）。しかし、私はそれがCSの中核カリキュラムの一部であることはめったにありません。これは、それほど価値がないことを意味しますか？たぶんそうではなく、私はここで何かを見逃しているかもしれません

関数型プログラミング言語はラムダ計算に基づいていることは知っていますが、プログラミング言語ができる前に作成されたため、それを有効な貢献とは考えていません。それでは、理論への応用/貢献について、ラムダ計算を知っている/理解しているポイントは本当に何ですか？

$\lambda$ -calculusには2つの重要な役割があります。

• これは、シーケンシャルで機能的な高次の計算動作の単純な数学的基盤です。

• これは、構成的論理における証明の表現です。

これは、Curry-Howard通信とも呼ばれます。共同で、 -calculus（Turingマシンでは共有されない）の代数的感覚によって強化された、証明および（順次、関数、高次）プログラミング言語としての -calculusの二重のビューは、ロジック、数学の基礎、プログラミング間の技術移転。この転送は、例えばホモトピー型理論などでまだ進行中です。特に、一般的なプログラミング言語の開発、特にタイピングの分野は、なしでは考えられません λ λ λ $\lambda$$\lambda$$\lambda$-計算。ほとんどのプログラミング言語は、 -calculusの直接の子孫であるLispおよびML（たとえば、Lispのガベージコレクションが発明された）にある程度の負債を負っています。 -calculusの影響を強く受ける2番目の作業は、 対話型証明アシスタントです。$\lambda$$\lambda$

優秀なプログラマーになるために、またはコンピューターサイエンスの理論家になるために、 -calculus を知っている必要がありますか？いいえ。型、検証、および高次機能を備えたプログラミング言語に興味がない場合は、恐らくそれほど有用ではない計算モデルです。特に、複雑性理論に興味がある場合 、基本的な縮小ステップは強力であるため、 -calculusはおそらく理想的なモデルではありません。任意の数のコピーを作成するため、 λ （λはX 。M ）N → β M [ N / X ] N → β λ λ M N M $\lambda$$\lambda$

$$(\lambda x.M) N \rightarrow_{\beta} M[N/x]$$ $N$$\rightarrow_{\beta}$は、計算の微視的コストを説明する非現実的な基本概念です。これが、理論Aが -calculusにあまり夢中にならない主な理由だと思います。機械組成のない自然な概念が存在しないので、逆に、チューリングマシンが持つ一方で、プログラミング言語の開発のためにひどく心に強く訴えるようではありません場合-calculus、およびプログラムをしているし、そうである。計算のこの代数的見方は実際に実際に使用されるプログラミング言語に関連しており、多くの言語開発は、新しいプログラム構成演算子の検索および調査として理解できます。$\lambda$$\lambda$$M$$N$$MN$

-calculusの歴史の百科事典的な概要については、Lambda-calculusの歴史とCardoneとHindleyによる組み合わせ論理を参照してください。$\lambda$

私が思うに -calculusがこの分野に多くの方法で貢献してきましたし、まだそれに貢献しています。以下に3つの例を示しますが、これは網羅的なものではありません。私は -calculusの専門家ではないので、確かにいくつかの重要な点を見逃しています。$\lambda$$\lambda$

• まず、私は、関数の正確な同じセットを表すために判明計算の異なるモデルがの原点でだったと思うチャーチ=チューリングのテーゼ、および -calculusはチューリングマシンとと一緒に、大きな役割を果たした -recursive機能。$\lambda$$\mu$

• 第二に、関数型プログラミング言語に関して、私は有効でない貢献として理解していません。基本的に、計算のすべてのモデルは、コンピューターサイエンスで何かが起こるずっと前に発明されました。したがって、 -calculusは、ある意味でチューリングマシンに直交する計算の別のビューをもたらしました。これは、プログラミング言語の分野（計算理論の分野の一部）で非常に有益です。$\lambda$

• 最後に、より具体的な例として、専用言語を使用して複雑度クラスを特徴付けることを目的とした暗黙的計算複雑度について考えます。Bellantoni-Cookの定理などの最初の結果は再帰関数の観点から述べられましたが、最近の結果では -calculusの語彙とテクニックを使用しています。詳細およびポインター、またはDICEワークショップの議事録については、暗黙の計算の複雑さのこの短い紹介を参照してください。$\mu$$\lambda$

他のすべての回答で言及された -calculus の基本的な役割とは別に、何かを追加したいと思います$\lambda$

ラムダ計算はCSの理論を前進させるために正確に何をしましたか？

並行性理論はCSの1つの分野であり、Martin Bergerが言及した構成の見方に大きな影響を受けていると思います。もちろん、 -calculus自体は並行言語ではありませんが、その「代数的精神」は現代のプロセス計算の定義と発展に浸透しています。プロセス代数は、オートマトンやチューリングマシンよりも -calculusの子孫であり、一般に、同時実行理論はインポートなしでは今日のものではない、と言うのは公平だと思います-微積分。λ $\lambda$$\lambda$$\lambda$

並行性に加えて、答えの1つで言及されている暗黙的な計算の複雑さ（ICC）を見ることができてうれしいです（これは私が個人的に関与している分野です）。ただし、これまでのところ、ICCはプログラミング言語以外のCS理論や、非常に限られた方法でのソフトウェア検証では使用できません。これは、より一般的な状況の例です。 -calculusの根底にあり、「理論B」に支配的な計算のモジュラー、構成、高度に構造化されたビューは、「理論A」の興味深い問題に対する洞察をほとんどもたらさないようです。 。なぜこれがそうなのかは、私にとって興味深い反省であると同時にイライラする問題です。（関連する議論については、この質問を参照してください）。$\lambda$

（補足として、証明理論（Curry-Howard）との深いつながりのおかげで、 -calculusはCSの「適切な」外でも、特に集合論で興味深い応用があります。私は特にジャン=ルイ・クリヴィネによって2000年代初頭から開発された研究プログラムである古典的実現可能性に関する最近の研究をほのめかします（現在、アレクサンドル・ミケルなど、彼のWebページで見つかった講義は、このテーマの優れた紹介です）。モデル理論の観点から、古典的な実現可能性は、コーエンの強制の「非可換」一般化と見なされ、強制では取得できない集合理論のモデルを生成します）。$\lambda$

あなたの質問には多くの側面からアプローチできます。歴史的側面と哲学的側面を脇に置いて、あなたの主な質問に対処したいと思います。

ラムダ計算のポイントは何ですか？なぜこれらすべての機能/削減を経るのですか？

ブール代数、関係代数、一次論理、型理論、または他の数学的形式主義/理論のポイントは何ですか？答えは、彼らのデザイナーが何らかの目的で作成したとしても、彼らには固有の目的がないということです。ブール代数の基礎を構築するとき、ライプニッツは、特定の哲学的プロジェクトを念頭に置いていました。ブールは彼自身の理由でそれを研究しました。関係代数に関するde Morganの研究も、彼のさまざまなプロジェクトによって動機付けられました。パースとフレーゲには、現代の論理を作成する独自の動機がありました。

要点は、ラムダ計算を作成するときに教会が持っていた理由が何であれ、ラムダ計算のポイントは開業医ごとに異なります。

• 誰かにとっては、計算について話すのに便利な表記法です。チューリングマシンの代替品など。

• 別の人にとっては、より洗練されたプログラミング言語（McCarthy、Stanleyなど）を構築するための強固な数学的基礎です。

• 第三者にとっては、自然言語とプログラミング言語（Montague、Fitch、Kratzerなど）のセマンティクスを提供するための厳密なツールです。

ラムダ計算は、それ自体で勉強する価値がある正式な言語だと思います。型付けされていないラムダ計算では、「Yコンビネータ」と呼ばれるこれらの小さな獣が存在するという事実と、再帰関数を定義し、決定不能性の証明を非常にエレガントで単純にする方法を学ぶことができます。単純に型付けされたラムダ計算と直観主義論理のタイプとの間に密接な対応があるという驚くべき事実を学ぶことができます。探求すべき興味深いトピックは他にもたくさんあります（たとえば、ラムダ計算のセマンティクスをどのように指定する必要がありますか？ラムダ計算をFOLのような演ductiveシステムに変換するにはどうすればよいですか）。

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Hindley＆SeldinのIntroduction to Combinatorsとλ–Calculusを参照してください。BarendregtのThe Lambda Calculusは聖書です。したがって、Hindley＆Seldinに夢中になっている場合は、意味論的および構文的な性質のトピックがたくさんあります。

チューリングは、数学は、有限のセットから選択された読み取り/書き込み記号の組み合わせに還元され、有限の数の精神的な「状態」を切り替えることができると主張しました。彼は、チューリングマシンでこれを具体化し、テープ上のセルにシンボルを記録し、オートマトンが状態を追跡します。

ただし、チューリングのマシンは、この削減の建設的な証拠ではありません。彼は、「効果的な手順」はチューリングマシンによって実装できると主張し、ユニバーサルチューリングマシンが他のすべてのマシンを実装できることを示しましたが、数学を実装する一連のシンボル、状態、および更新ルールを実際には与えませんでした彼が主張した方法で。言い換えると、彼は数学を書き留めるために使用できる記号の標準セットを備えた「標準チューリング機械」を提案しなかった。

一方、ラムダ計算はまさにそれです。教会は、数学を書き留めるために使用される表記法を統一しようとしていました。LCとTMが同等であることが示されたら、LCを「標準チューリングマシン」として使用でき、誰でもプログラムを読むことができます（理論的には;））。

さて、なぜLCをTM方言としてではなく、プリミティブとして扱うのかを尋ねることができますか？答えは、LCのセマンティクスは表示的なものであるということです。LCの用語には「固有の」意味があります。教会の数字があり、加算、乗算、再帰などの関数があります。これにより、LCは（形式的な）数学の実践方法と非常によく一致します。

一方、TMプログラムのセマンティクスは操作可能です。意味はマシンの動作として定義されます。この意味では、テープの一部を切り取って「これは追加です」と言うことはできません。これは、コンテキストに依存しているためです。テープのそのセクションにヒットするときのマシンの動作は、マシンの状態、長さ/オフセットなどに依存します。引数の数、結果に使用されるテープの量、以前の操作がテープのそのセクションを破損したかどうかなど。多くの（命令型）アルゴリズムは擬似コードとして提示されます。

他の答えは良いです、ここでは、他のメッシュとのメッシュがさらに明確になる可能性があることを考慮するための追加の角度/理由がありますが、古い起源は時間の経過でいくらか失われるため、明確に心に留めるのは難しいかもしれません：

歴史的な優先順位！

ラムダ計算が導入された、少なくとも早くも1932以下の参照に：

• A.教会、「論理の基礎のための一連の仮定」、Annals of Mathematics、シリーズ2、33：346–366（1932）。

チューリングマシンに導入された1936〜ラムダ計算は数年によってTMの出現に先行して、！

• チューリング、AM（1936）。「計算可能な数について、Entscheidungs問題への応用」。ロンドン数学会の議事録。2（1937）42：230–265。doi：10.1112 / plms / s2-42.1.230

つまり、基本的な答えは、ラムダ計算が多くの点でTCSの究極のレガシーシステムであるということです。言語の新しい開発はそれほど進んでいませんが、Cobolとほぼ同じ方法で行われています。導入された最も初期のチューリング完全計算システムであるように見え、チューリング完全性の基本的な考え方よりも前のものです。ラムダ計算、チューリング機械、および事後対応問題が同等であり、チューリングの等価性の概念と教会チューリング論文を導入したことを示したのは、後の遡及分析のみでした。

ラムダ計算は、数学の定理や論理式の派生などとして表現するという点で、論理中心の POV からの計算を単に研究する方法です。また、計算と再帰の間の深い関係、および数学的帰納法とのさらなる密結合を示しています。

これはやや注目に値するファクトイドです。なぜなら、コンピューティングの（少なくとも理論上の）起源は基本的に論理/数学であり、デイビスが著書のEngine of Logic / Mathematicians and the originsコンピューター。（もちろん、ブール代数の起源と基本的な役割は、その概念的な歴史的枠組みをさらに強化します。）

したがって、劇的に、ラムダ計算はコンピューティングの起源を探求するための教育的タイムマシンに少し似ているとさえ言うかもしれません！

私はちょうどこの投稿に出会ったばかりで、私の投稿がかなり遅い日（年！）にも関わらず、多分私の「ペニーの価値」が役に立つかもしれないと思いました。

大学でこのテーマを勉強している間、私はこの問題について同様の考えを持っていました。だから、私は講師に「なぜ」という質問を投げかけ、その答えは「コンパイラー」だった。彼女がそれを言及するとすぐに、削減の背後にある力と、それをどのように操作するのが最善かを評価する技術が、なぜそれがなぜかつ今でも潜在的に有用なツールであるかという全体の目的を突然作りました。

それは、いわば私の「あは」の瞬間でした。

私の意見では、高レベルの言語、パターン、オートマトン、アルゴリズムの複雑さなどは、それらを手元の「タスク」に関連付けることができるため、しばしば役立つと考えています。一方、lamdba calculusは少し抽象的すぎるようです。ただし、低レベルの言語で作業する人はまだいます-ラムダ計算、オブジェクト計算、およびその他の関連する形式化は、平均的なプログラマが恩恵を受ける新しい理論と技術を理解し、おそらく開発するのに役立つと思います。確かに、それはおそらくその理由のためのコアモジュールではありませんが、（私が述べた理由のために）コンピューティングの選択されたキャリアパスに不可欠であるかもしれない奇妙な少数-学者以外-があるでしょう。