単調な空間の複雑さの下限

言語の単調空間の複雑さは、単調スイッチングネットワークの観点から定義できます（たとえば、Filmus et al。による「単調スイッチングネットワークの平均大文字の下限」を参照してください）。この概念は、単調な階層にリンクされており、ほとんどの質問が開かれている非単調な設定に適用できます。 N $L \subseteq \Sigma^*$$NC$

これは、回路に関する同等の定義です。ましょう、その円弧の要素によって標識されている回路（又はDAG）である、および単一のルートノードを持つRを。ラベルのシーケンスがwと一致するKにルートリーフパスPがある場合、Kは単語w \ in \ Sigma ^ nを受け入れると言います。つまり、Pの各ラベル（i、a）について、w [i] = A。ここで、言語Lが与えられた場合、整数nごとに、そのnスライスの複雑さを定義しますC_L（n）[ N ] × Σ用のR K W ∈ Σ N P K W （I 、）P W [ I ] = L N N C L（N $K$$[n] \times \Sigma$$r$$K$$w \in \Sigma^n$$P$$K$$w$$(i,a)$$P$$w[i] = a$$L$$n$$n$$C_L(n)$L \ cap \ Sigma ^ n内の単語を正確に受け入れる回路の最小サイズとして$L \cap \Sigma^n$。この概念にいくつかの制限を課すことができます。たとえば、回路を一度だけ読み取ることを要求することで、各受け入れパスが特定の位置に1回アクセスすることを意味します。これは、以下に示すように、分析がより簡単に見える2番目の複雑さの尺度$C'_L(n)$ます。

例は、以下のように、単調な複雑さC '_ {PM}（n）= 2 ^ {\ Omega（n）}を示すことができる完全一致問題（$PM$）です。ましょうPM_nは、二部グラフに対応する言語のスライス表すGと、n個の 2分割の両側の頂点を（で示されるA、B）。それを受け入れる回路Kを考えます。整数所与K、ましょう\ mathcal {P} _k示す長さの経路の集合KにおけるKルートから開始し、およびlet \ mathcal {T} _k示す組の対（S、T）と$C'_{PM}(n) = 2^{\Omega(n)}$$PM_n$$G$$n$$A,B$$K$$k$$\mathcal{P}_k$$k$$K$$\mathcal{T}_k$$(S,T)$$S \subseteq A, T \subseteq B$および$|S| = |T| = k$。単調性により、次の仮定を行うことができます。

（*）深さkの各ノードuには、タプルt =（S、T）\ in \ mathcal {T} _kがあり、uに至る各パスP \ in \ mathcal {P} _kは、順列\ sigma_P：S \ RIGHTARROW T。$u$$k$$t = (S,T) \in \mathcal{T}_k$$P \in \mathcal{P}_k$$u$$\sigma_P : S \rightarrow T$

実際、異なるタプルに対応するuにつながる2つの異なるパスがあった場合$u$、それらの1つを順列ではない関数に拡張できます（したがって、一致しない$n$エッジグラフを認識します）。

ここで、次の「カバレッジ」プロパティが必要であることに注意してください各置換に対して、が拡張するようなパスが存在する必要があります。与えられた順列は最大まで拡張できることに注意して異なる順列、および特定のタプルが最大で誘導できること 異なる順列。これは、深さのノード数が少なくとも。特に、レベルのノード数は少なくとも$\sigma : A \rightarrow B$$P \in \mathcal{P}_k$$\sigma$$\sigma_P$$\sigma_P$$(n-k)!$$\mathcal{T}_k$$k!$$k$$\frac{n!}{k! (n-k)!}$$\frac{n}{2}$$\frac{n!}{(\frac{n}{2})!^2} = 2^{\Omega(n)}$。

私が理解したいことが2つあります。（i）この推論が読み取り多/非単調な空間の複雑さで壊れる理由、（ii）単調な空間の複雑さの既知の下限にどのように関係するのか。$PM$

これは完全な答えではなく、むしろ「拡張コメント」です。

質問（i）に対して：プロパティ（*）は単調性のためではなく、1回限りの読み取りのために保持されます。これが、多引数（単調でも）の場合に引数が失敗する理由です。その場合、結合されたパスはPMである必要はありません。PM を含む任意のグラフにすることができます。

リードワンス場合でも正確なPMは、（それは場合に限っグラフを受け入れている完璧なマッチング）（あなたと同じ引数で）指数のサイズが必要です。ただし、否定を許可する場合、EPMはサイズ回路で計算できます。Aのすべてのノードの次数が少なくとも1つであり、Bのすべてのノードの次数が最大で1かどうかを確認します。結果のスイッチングネットワークは「ほぼ1回だけ」です。一貫性のあるすべてのパスが1回だけ読み取られます。詳細については、ここで「null-path」という用語を検索してください。 $O(n^3)$

質問（ii）へ：ここでの「それ」の意味が理解できません。しかし、私が知る限り、Razborov の下限（PMの単調回路サイズの場合）は依然として最も強いものです。モノトーンスイッチングネットワークは、モノトーン回路の特別なケース（各ANDゲートの1つの入力が変数でなければならない）を構成しますが、PMのより強い下限はここでは知られていません。$n^{\Omega(\log n)}$