ホモトピー型理論のどの部分がAgdaやCoqで不可能なのですか？

私たちが見たときの本、ホモトピー型理論 -私たちは、次のトピックを参照してください。

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are fibrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

これで、ホモトピー型理論のすべてがAgdaとCoqで可能なわけではないことがわかりました。

私の質問は次のとおりです。AgdaまたはCoqではホモトピー型理論のどの部分が不可能ですか？

第8章の「注」を見ると、すでに公式化されているものが表示されます。これは非常に多いと思います。Homotopy Type Theoryの大きなチャンクを形式化するCoq HoTTライブラリとAgda HoTT-Agdaライブラリがあります。

Coqで物事を成し遂げるためには、HoTTの目的のためだけにパッチされたCoqの特別なバージョンが必要でした。ただし、Coqはホモトピー型理論をサポートする方向に進んでいるので、やがて標準Coqでそれができるようになるかもしれません。

Agdaでは、--without-Kオプションをオンにする必要があります。そうしないと、Agdaはすべてのタイプを0タイプと見なします。かどうかに関していくつかの長引く疑問があります--without-Kすべてが0セットであるという仮定を本当に取り除くの、あるいはパターンマッチのトリッキーな使用でAgdaにそれを再導入することができるの。

CoqおよびAgda形式化の次の側面は満足のいくものではありません。

1. 一価の公理は仮説として述べられています。システムに組み込まれていると良いでしょう。特に、CoqとAgdaにUnivalence公理に関する計算規則を理解してもらいたいと思います。

2. 同様に、実行可能な高誘導型を取得するには、ハックを使用する必要があります。繰り返しますが、直接サポートする方が良いでしょう。

上記の欠陥の問題は、理論的にもそれらを修正する方法を誰も知らないことです。これは研究の活発な分野です。

それ以外は、HoTT は最適な方法ではなく、ほとんどCoqとAgdaで実行できると言ってもいいと思います。

私が理解している限り、Agdaではそのすべてを表現することができます（つまり、第2章のすべて-githubにライブラリがあります;知る限り、Coqにも同じことが言えます）。物事が危険にさらされるのは、後の章に到達したときだけです。2つの明らかな項目があります。

1. サークル。これは、（Agdaで）postulateを使用して表されるため、他のものほど優れていません。
2. $\infty$

他の項目もありますが、私はまだAgda形式化のその部分を読んでいません...しかし、概して、HoTTの大部分はAgdaとCoqの両方でうまく形式化できます。

さらに重要なことは、少なくとも必要な機能を実装する方法の明確な理論があれば、開発者の両チームは、より多くのHoTTを処理できるように、システムの調整に積極的に取り組んでいます。それは部分的に難しいことが判明しました。