停止するかどうかが不明な最小のチューリングマシンとは何ですか？

31

停止の問題は一般的に決定不能ですが、明らかに停止するチューリングマシンと、明らかに停止しないチューリングマシンがあります。すべての可能なチューリングマシンの中で、停止するかどうかの証拠を誰も持っていない最小のマシンは何ですか？

halting-problem

— アーロン
ソース

10

答えは、マシンモデルの詳細（シンボルの数など）によって異なります。Busy Beaverに関するWikipediaの記事によると、停止するかどうか不明な2シンボル5ステートマシンがあります。

— カベ14

1

アーロンの質問は、特定の言語の決定可能性に関するものではなく、実際には特定のチューリングマシンが停止するという証拠の存在に関するものです。チューリングマシンの場合、「その」停止問題（この非常にマシンが空の入力で停止するかどうか）は「決定可能」です。「はい」または「いいえ」であり、{Yes}と{No}の両方の言語が決定可能です。これは、マシンが停止したという証拠があるかどうかとは大きく異なります。アーロン、「言語

が

停止する

が決定できないような最小の

はどういう意味ですか」という質問を編集してください。

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— ミカエルカディルハック14

1

MichaëlCadilhac@停止問題は、通常は「機械を考えると、と解釈される

と入力

行い、

入力のための停止を

？」ない「マシンを考えると

、ない

すべての入力のための停止を？」

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— デビッドリチャービー14

@DavidRicherby：私にとって、停止の問題は、空の入力で停止するマシンの言語（コード）です。ここで意図した意味でない場合、混乱を散らすために指定する必要があると思います。

— ミカエルカディルハック14

問題を研究する複数の方法が有効であり、相互に関連しており、質問者がしなかったそれらを区別することには確かに微妙なものがあります。

— vzn 14

38

停止の問題を決定できる最大のチューリングマシンは次のとおりです。

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

$TM(2,4)$ $TM(3,3)$

$TM(4,2)$

KavehのコメントとMohammadの答えは正しいので、この種の結果で使用される標準/非標準チューリングマシンの正式な定義については、Turlough NearyとDamien Woodsが小さなユニバーサルチューリングマシンで動作する例を参照してください。調査（Rule 110 TMは弱い普遍的です）。

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

2

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

2

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

32

停止問題がZFCに依存しないチューリングマシンがあることを付け加えます。

たとえば、ZFCで矛盾の証拠を探すチューリングマシンを取り上げます。次に、ZFCが一貫している場合、停止しませんが、ZFCでそれを証明することはできません（ゲーデルの2番目の不完全性定理のため）。

したがって、証拠をまだ見つけていないだけではなく、証拠が存在しないこともあります。

— デニス
ソース

ZFC？ZFCの意味？文脈からはわかりません。

— アカプルコ14

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sashoニコロフ

笑！OK。私はlmgtfy'edされました。Touchè。このトピックに即座にかつ一意に関連するのはイニシャルだとは思わなかった。いずれにせよ、最初に言及したときに「ZFC（Zermelo–Fraenkel集合論）」という明確な説明を追加することは、それが存在する場合のあいまいさを避けるために痛くないと思いますか？:)

— アカプルコ14

16

@アカプルコ、ツアーとヘルプセンターをご覧ください。理論的なコンピューター科学者なら誰でもZFCが何を意味するかを知っているので、明確にする必要はありません。

— カベ14

1

2

$2$

5

Universal Turingマシンが停止するかどうかの証拠は誰にもありません。実際、ホールティング問題の決定不能性の結果として、そのような証明は不可能です。最小は2ステート3シンボルユニバーサルチューリングである彼は$ 25,000の賞金を獲得したため、アレックス・スミスによって発見されたマシン。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

4

ただし、引用されているウィキペディアのページによると、普遍性の証拠は争われていることに注意してください。また、これはチューリングマシンの標準モデルではありません。ユニバーサルマシンと呼ばれるマシンには停止状態がないため、少なくともユニバーサルチューリングマシンが行うことの標準的な意味では、停止するマシンをシミュレートできません。

— デビッドリチャービー14

2

@DavidRicherby：ルール110の弱汎用性は非常に受け入れられていると思います：入力の左右で繰り返される2つの異なる単語が必要であり、停止条件は特別なグライダーの生成です（シミュレートされたマシンが停止します）。マシュークックの「初歩的なセルオートマトンの普遍性」を参照してください。

— マルツィオデビアージ14

-4

正確に表現されていないが合理的な一般的な質問であり、いくつかの特定の技術的な方法で研究できます。停止が不明であるが、状態とシンボルの両方を考慮したTMの複雑さの正当化/定量化可能なメトリックを考え出さない限り、「最小」マシンが不可能な状態/シンボルで測定される「小さな」マシンが多数あります（明らかにこれまで誰も提案していません）。

$x \times y$ $x$ $y$

$x,y$

— vzn
ソース

2

シンボルと状態を考慮してメトリックを確立する必要はありません。テープに2つのシンボルがあれば、ほとんどすべての状態で停止の問題が決定できないことは明らかです。思い出すように、5つの状態だけでユニバーサルTMを書くことができます。決定可能性の正確な境界がわかっていれば、その境界を（＃states、＃symbols）ペアの観点から説明するのは簡単だと確信しています。

— デビッドリチャービー14

多忙なビーバーの研究には、TMが初期状態で停止するかどうかの証拠を見つけることが含まれます。解決可能なケースがあります。「最小」のものが必要な場合は、「小さな」を測定する正確なメトリックを作成する必要があります。上記のptは、状態またはシンボルのみを含むメトリックは、両方を含む既知の境界（およびユニバーサルであることが知られていないマシン）を表す限り、誤解を招くと見なすことができるということです。本研究では決定不能の境界が....その基本的な性質であること、まったく何の用語で指定する「簡単」ではありません

— vzn

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— デビッドリチャービー14

これまでのところ、誰もメトリックを提案していません。この領域の重要な境界は「説明するのは簡単」ではなく、シナリオはライスのthmを介して不可能であると予想されます。これは、普遍的であることが知られている（そして普遍的でないと推測される）マシンの入力の解決可能性に関心がある研究と引用文献に精通していないことを示しているようです。あなたのコメントは普遍的なマシン境界と非普遍的なマシン境界に焦点を合わせているようです。

— vzn 14

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$