パス上のNPハード問題

一般的なグラフではNP困難な多くの決定問題が存在することは誰もが知っていますが、基になるグラフがパスである場合でもNP困難な問題に興味があります。だから、そのような問題を収集するのを手伝ってもらえますか？

私は、木の上のNP困難な問題に関する関連する質問をすでに見つけました。

エッジカラーグラフでのレインボーマッチングは、エッジの色が異なるマッチングです。問題は、エッジ色のグラフと整数kが与えられた場合、Gには少なくともk個のエッジと一致する虹がありますか？これはとして知られている虹マッチング問題、およびそのNPはさえ正しくエッジ着色パスに対して-complete。著者は、この結果の前に、重みのないグラフの問題は、知識の限りでは単純なパスではNP困難であるとは知られていないことにも注意しています。$G$$k$$G$$k$

Le、Van Bang、およびFlorian Pfenderを参照してください。「レインボーマッチングの複雑さの結果。」Theoretical Computer Science（2013）、またはarXivバージョン。

簡単な観察結果を次に示します。

• 色のないパスグラフは基本的に整数をエンコードするため、単項エンコードされた整数を含むNP困難問題をすべてパスグラフ問題として再解釈できます。単項（=パスグラフの互いに素な結合）でエンコードされた複数の整数を許可する場合、3-Partitionのような強力なNP完全問題を使用できます。

• 色付きのパスグラフは、固定アルファベットの単語をエンコードするため、ここでも単語のNP困難問題に対処できます。私が知っている例は、Bodlaender、Thomasé、およびYeoで導入されたDisjoint Factors問題です。

MinCC Graph Motifは、グラフがパスの場合（NPXハードでも）NPハードです。頂点上の色と色のセットを持つグラフが与えられたら、色のセットに一致し、接続されたコンプの数を最小化するサブグラフを見つけます。JDA 2011の頂点色グラフパターンマッチングの複雑さの問題を参照してください。

$n$$1 \leq \text{weight}(u,v) < n$$[1..n]$

これは、NPC（私の「非公式な」結果の1つである:-)である差異からの順列再構成問題に相当します。

上記に表示されているもののいくつかに近い些細な答えですが、私は、はっきりと思います。

$f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$$\langle k,m,w\rangle$$f(k,m,w)$$m$$w$$n^{\log k}$$n$$\log k$$k$ その値のセットは、パスのセットとして表すことができます。

Unsplittable Flow Problem（UFP）は、パス上でNPハードのままです。実際、ナップザック問題と同等であるため、UFPはシングルエッジでもNP困難です。

Rainbow Dominating Set（RDS）はパス上でNPハードのままです。頂点の色付きグラフを考えると、RDSはグラフの各色が少なくとも1回現れるDSです。

頂点カラーグラフの熱帯支配セット、JDA'18

入力に「競合グラフ」も存在する場合、支配セットと独立支配セットはパス上でNP困難です。このグラフのエッジは、両方のソリューションに存在できない頂点のペアです。

コルネット、アレクシス; ラフォレスト、クリスチャン、対立のない支配問題、ディスクリートAppl。数学。244、78-88（2018）。ZBL1387.05181。