三項アルファベットに対する2の累乗のセットが非正規であることを証明します。

が正規表現であるため、アルファベット{0,1}に対する2のべき乗が正規であることは簡単です。$10^*$

しかし、3元で表される2のべき乗は、不規則であるように見えます。弦の間には非常に小さなパターンがあるように見えるので、補題または残差クラスのポンピングは適用が困難です。どうすれば解決できますか？

一般に、ベースrで表されるべき乗について、セットは正規ですか？$k$$r$

Myhill-Nerode定理を使用した（詳細な説明付きの）代替ソリューションを次に示します。読みやすくするために基数と2を使用しますが、証明は同じ整数のべき乗ではない任意の基数r 、kに対して一般化されます。$3$$2$$r,k$

（1）3進ストリングが与えられた場合、x yが2のべき乗であるような別のストリングyが存在することを示します。$x$$y$$xy$$2$

証明：任意の所与（せるのN、それが表す数である）∀ KとC ∈ { 0 、... 、3 K - 1 }、存在Yそのようなxは、Yが表す3 K、N + Cは。実際、これはx yが表すことができるすべての数を特徴付けます。したがって、x yが2のべき乗になるような最小のyを見つけることは、最小の整数kを見つけることに依存します。$x$$n$$\forall k$$c\in \{0,\ldots,3^k-1 \}$$y$$xy$$3^kn + c$$xy$$y$$xy$$2$$k$区間[ 3 k n 、3 k（n + 1 ）− 1 ]にべき乗があるようにします。ログベース取る2、我々は見つけるために必要kは、我々は間隔の整数を有するように[ K ログ3 + ログX 、K ログ3 + ログ（X + 1 ）]（ドロップ- $2$$[3^kn,3^k(n+1)-1]$$2$$k$$[k\log 3 + \log x, k\log3 + \log(x+1)]$$-1$ここは不明瞭ですが、それに依存しない計算を簡素化します）。を変更してもk log 3の部分にのみ影響するので、任意の整数に任意に近づけるkを見つけることができます。$k$$k\log 3$$k$

（2）いくつかのと対応する最小値yが与えられた場合、対応する最小値y ′がyより大きい必要があるような文字列x'が存在することを示します。これを繰り返すと、文字列の等価クラスが無限に多くなります。$x$$y$$y'$$y$

プルーフ概要：ので、所与のX及びそれに対応するyとし、kは、我々は常にいくつか見つけることができ、X ' = 2 m個の Xをここでログ（2 M X + 1 ）- ログ（2 m個の X ）[ k log 3 + m + log x に整数が含まれないように十分小さい$\log 2^m x = m + \log x$$x$$y$$k$$x' = 2^m x$$\log(2^m x + 1) - \log (2^m x)$。k log 3 + log xは整数にはなり得ないという事実を暗黙的に使用していることに注意してください。$[k\log 3 + m +\log x, k\log3 + \log(2^mx+1)]$$k\log 3 + \log x$

一般に、 ベースrで表されるべき乗について、セットは正規ですか？$k$$r$

あなたの質問は、コブハムの定理のサブケースです（アランコブハム、有限オートマトンによって認識可能な数のセットの基底依存性について、理論理論の計算システム 3（2）：186--192、1969、doi：10.1007 / BF01746527）：

してみましょう非負整数の集合であるとしましょうメートルとnは乗算独立した正の整数で。その後、Sは、両方で有限オートマトンによって認識され、M進そしてnは、それが最終的に周期的である場合にのみあれば進表記$S$$m$$n$$S$$m$$n$

ここで、乗法的に独立したということは、m p = n qであるような非ゼロのおよびqが存在しないことを意味します。Cobhamは、ベースrのkのべき乗の特定のケースについてBüchiを引用しています。これは、kとrが乗法的に依存している場合にのみ認識可能です。$p$$q$$m^p=n^q$$k$$r$$k$$r$

$p$

$x_n = c+b(r^{dn}-1)/(r^d-1)$$b,c,d$$x_n$$k$$\log_k(x_n)=dn \log_k(r) + const + o(1)$$\log_k(r)$

$x_n$$u,v,w$$x_n=u v^n w$$k$$d$$e$$v$$w$$x_n = u r^{dn+e} + v r^{d(n-1)+e} + v r^{d(n-2)+e} + \dotsb + v r^e + w$$d$$x_n-x_{n-1} = (u r^d - u + v) r^{d(n-1)+e}$$b=(u r^d - u + v)r^e$$c=x_0-b$$x_n=c+b(r^{dn}-1)/(r^d-1)$

$L$$4^n$$2\cdot 4^n$$L' = L \cap \Sigma^*1$

$m > 0$$\lceil \log_3 (m+1) \rceil$$4^n$$4^n+1$$n>0$$4^n$$\lfloor \log_3 4^n \rfloor + 1$

$N = \{ \lfloor \log_3 4^n \rfloor : n \geq 0 \}$$L$$L'$$L'$$N$$N$$N$$1/\log_3 4$