最小TSPツアーのCo-NP完全性？

この問題は私の最近のブログ投稿から出てきました。あなたがTSPツアーを与えられたと仮定すると、それが最小のものかどうかを決定するのは共同NP完全でしょうか？

より正確には、次の問題がNP完全です。

インスタンス：エッジが正の整数で重み付けされた完全なグラフGと、Gのすべてのノードを訪れる単純なサイクルCが与えられます。

質問：GのDのすべてのエッジの総重量がGのCのすべてのエッジの総重量よりも厳密に小さくなるように、Gのすべてのノードを訪れる単純なサイクルDがありますか？

NP完全であることを証明するための可能な削減のスケッチ。

非公式には、3SATがASP-complete（別のソリューションの問題）であることを示すために使用される修正された3SAT式から始まり、標準的な一連の削減に「従います」3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP

• 3SATの式でスタートとの変数のおよび caluses。nはX 1、。。。X nは M C 1、。。。、C $\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• 新しい変数 ...;を追加する新しい式変換します。$\varphi'$$t$
• ...およびをます。（X I 1 ∨ X I 2 ∨ X I 3 ∨ T $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• ビルドダイヤモンド構造グラフ DIRECTEDハミルトン閉路がNP完全であることを証明するために使用されます。各節がノードに対応すると仮定します。 G = { V 、E } C j N j$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• 変更グラフに各ノード交換 3つのリンクされたノードでは から無向ハミルトニアンサイクルのNP-完全性を証明するために使用される標準的な還元に係るエッジおよび修正DIRECTED HAMILTONIAN CYCLEつまり、は着信エッジに使用されるノード、は発信エッジに使用されるノードです。G ′ = { V ′、E ′ } u u 1、u 2、u 3 u 1 u $G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• 上の無向ハミルトニアンサイクルインスタンス変換 TSPインスタンスにのすべてのエッジた重量を有しの『正』の割り当てに行くダイヤモンド中の（ユニークな）エッジを除いて、量を有し、（下図の赤い縁）; 最後に、完全にするために追加されたエッジの重みはです。 T G ′ w = 1 t w = 2 G ′ w = $G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

明確TSPインスタンス単純サイクルを有する訪問すべてのノードの満足割当先の対応 で（このツアーは容易多項式時間で構築することができる）、それは全重量有する（重み2を持つ割り当て対応するエッジを使用するため）。は、総重みがより低いすべてのノードを訪問する別の単純なサイクル割り当て対応する重みのエッジが使用されていない場合のみ。または同等に、別の条件を満たす割り当てがある場合にのみ$T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$$2$$t = true$$\varphi'$ここで、 ; ただし、これは、元の式が満たされる場合にのみ当てはまります。$t = false$$\varphi$

私はそれについてもっと考え、正式な証拠を書きます（それが間違っていることが判明しない場合は:-)。上記の文章の1つ以上についてさらに詳細が必要な場合はお知らせください。

domotorpが指摘したように、興味深い結果は次の問題がNP完全であることです。グラフとその中のハミルトニアンパスが与えられた場合、にはハミルトニアンサイクルがありますか？$G$$G$

Papadimitriou＆Steiglitz（1977）は、この問題のNP完全性を示しました。