問題がPまたはBPPにある包括的な理由

最近、物理学者と話すとき、私は経験上、指数関数的な時間がかかるように思われる問題がPまたはBPPにあることが非自明である場合、通常、減少が起こる「包括的な理由」を特定できると主張しました。 ---そしてほとんどの場合、その理由は十数個以下の「通常の容疑者」のリストに属します（例：動的計画法、線形代数...）。しかし、それは私に考えさせられました：実際にそのような理由のまともなリストを書き留めることはできますか？これが最初の不完全な試みです。

（0）数学的特性。問題には、明白な「純粋に数学的な」特性があり、一度知られると、poly（n）の可能性のリストを徹底的に検索できることがすぐにわかります。 例：グラフの平面性。クラトフスキーの定理からO（n ⁶）アルゴリズムに従います。

（以下の「平面」が指摘するように、これは悪い例でした。平面性の組み合わせ特性を知っていても、多項式時間アルゴリズムを与えることはまだ非常に重要です。ですから、ここでより良い例を置き換えてみましょう。たとえば、「バイナリで記述された入力nが与えられ、n個の穴のある表面に埋め込まれた任意のマップに色を付けるために必要な色の数を計算します。」これが計算可能（または有限です！）しかし、答えを与える既知の公式があり、公式がわかれば、多項式時間で計算するのは簡単です。 P.）

とにかく、これは特にありません、ほとんど私に興味状況の一種。

（1）動的プログラミング。 多くの場合、満たされる制約が線形またはその他の単純な順序で配置されるため、指数関数的な爆発なしに再帰的な解決を可能にする方法で問題を分割できます。「純粋な組み合わせ」。代数構造は必要ありません。おそらく、グラフの到達可能性（したがって2SAT）は特殊なケースです。

（2）マトロイド。 問題にはマトロイド構造があり、貪欲なアルゴリズムを機能させることができます。例：マッチング、最小スパニングツリー。

（3）線形代数。 問題は、線形システムの解法、行列式の計算、固有値の計算などに減らすことができます。間違いなく、Valiantのマッチゲート形式によって解決可能な問題を含む「奇跡的なキャンセル」を含むほとんどの問題も線形代数の傘に含まれます。

（4）凸面。 問題は、ある種の凸最適化として表現できます。半正定値計画法、線形計画法、ゼロサムゲームは一般的な（ますます）特殊なケースです。

（5）多項式IDテスト。 代数の基本定理が効率的なランダム化アルゴリズムにつながるように、問題を多項式の同一性のチェックに減らすことができます-場合によっては、素数性のように、証明可能な決定的アルゴリズムにさえなります。

（6）マルコフ連鎖モンテカルロ。 問題は、急速に混合する歩行の結果からのサンプリングに減らすことができます。（例：完全に一致するものをほぼ数えます。）

（7）ユークリッドアルゴリズム。 GCD、継続分数...

その他/正確に分類する方法が明確ではありません：安定結婚、多項式因子、順列群のメンバーシップ問題、数論および群論における他のさまざまな問題、低次元格子問題...

私の質問は、私が除外した最も重要なことは何ですか？

明確にするために：

• リストは完全なものではない可能性があることを理解しています：有限の数の理由を与えても、誰かがPにあるエキゾチックな問題を見つけることができますが、それらの理由はありません。その理由もありますが、私は、1つだけの問題で機能するアイデアよりも、PまたはBPPで一見無関係に見える多くの異なる問題を引き起こすアイデアに興味があります。

• また、物事をどのように分割するかが主観的であることも認識しています。たとえば、マトロイドは動的プログラミングの特殊なケースにすぎないのでしょうか？深さ優先探索による可解性は、動的プログラミングとは別に、独自の理由として十分に重要ですか？また、見方によっては複数の理由で同じ問題がPに発生することがよくあります。たとえば、線形代数のために主固有値を見つけることはPですが、それは凸最適化問題でもあります。

要するに、私は「分類定理」を望んでいません-効率的なアルゴリズムについて現在知っていることを有用に反映するリストだけのためです。そして、私が最も興味を持っているのは、PまたはBPPに幅広い適用性を持つものを置くためのテクニックですが、上記のリストに収まらないテクニック、または私の自慢をうまくするための私の粗雑な最初の試みを改善するための他のアイデアです物理学者。

一部のグラフクラスでは、すべてのグラフのクラスでNP困難な問題に対して多項式時間アルゴリズムを使用できます。たとえば、完全なグラフの場合、多項式時間で最大の独立集合を見つけることができます（記憶をジョギングするためのコメントでvznに感謝します）。これにより、製品の構築を通じて、明らかにかなり異なる複数のCSP（通常、階層分解によって解決されるツリー構造を持つもの、完全に一致することによって通常解決される全種類の制約など）の統一された説明が可能になります。

完璧なグラフは問題の問題の半正定値プログラミングの定式化を可能にする（したがって線形代数や凸性に該当する）ため、「簡単」であると主張できます。しかし、何が起こっているのかを完全に把握できるかどうかはわかりません。

• AndrásZ. SalamonおよびPeter G. Jeavons、完全な制約は扱いやすい、CP 2008、LNCS 5202、524–528。土井：10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Meinolf Sellmann、 ツリー構造のバイナリ制約充足問題のポリトープ、CPAIOR 2008、LNCS 5015、367–371。土井：10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

Gil Kalaiが指摘したように、マイナークローズクラスを形成するグラフのプロパティは、禁止されたマイナーの有限セットによって定義できます（これはRobertson-Seymourの定理です）。ロバートソンとシーモアのもう1つの結果は、未成年者の存在のテストをキュービックタイムで行えることです。これらを合わせて、多項式時間アルゴリズムを導き、マイナークローズのプロパティを決定します。

• ニール・ロバートソンとグラフ・マイナーズの PDシーモア。XIII。互いに素な経路の問題、Journal of Combinatorial Theory、シリーズB 63（1）65–110、1995。doi：10.1006 / jctb.1995.1006

マイナークローズグラフプロパティの1つの問題は、それらが「小さい」ことです。マイナーを1つでも除外すると、多くのグラフが除外されます。これが、おそらくRobertson-Seymourの構造分解が機能する理由の1つです。優れた構造を持つのに十分なグラフはほとんど残っていません。

• Serguei Norine、Paul Seymour、Robin Thomas、Paul Wollan、適切なマイナークローズドファミリーは小さい、Journal of Combinatorial Theory、Series B 96（5）754–757、2006。doi：10.1016 / j.jctb.2006.01.006（プレプリント）

マイナークローズクラスを超える1つの試みは、禁止されたサブグラフまたは禁止されたサブグラフによって定義されたクラスを経由することです。

禁止サブグラフまたは誘導サブグラフの有限セットによって定義されるグラフプロパティは、可能なすべてのサブグラフを調べることにより、多項式時間で決定できます。

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• Maria ChudnovskyとPaul Seymour、誘導サブグラフを除く、Surveys in Combinatorics 2007、99–119、Cambridge University Press、ISBN9780521698238。（preprint）

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格子基底縮小（LLLアルゴリズム）。これは、効率的な整数多項式因数分解の基礎であり、線形合同ジェネレーターと低次RSAの破壊のようないくつかの効率的な暗号解析アルゴリズムです。ある意味では、ユークリッドアルゴリズムを特別なケースと見なすことができます。

制限された次元のLenstraの整数プログラミング、Lenstra-Lenstra-Lovaszアルゴリズム、および関連する後続のアルゴリズム-制限された次元のIP問題の整数解の数に対するBarvinokのアルゴリズムおよびフロベニウス/シルベスター問題のKannanのPアルゴリズムを追加できます。特別なカテゴリ。ここで注目すべき未解決の問題は、Presburger Hierarchyで高次問題のPアルゴリズムを見つけることです。

言及する価値のある別のクラスのPアルゴリズムは、ランダム化された証明によって存在することが証明されたオブジェクトに与えられたPアルゴリズムです。例：Lovasz-Local Lemmaのアプリケーションのアルゴリズム。スペンサーの食い違いの結果のアルゴリズムバージョン; （わずかに異なるフレーバーの）Szemeredi規則性補題のアルゴリズムバージョン。

多項式時間アルゴリズムを持つ固定テンプレート制約充足問題のクラスについては、まだ大きく成長している理論があります。この仕事の多くは、ホビーとマッケンジーの本を熟知する必要がありますが、幸運なことに、普遍的な代数よりもコンピュータサイエンスに興味がある人にとっては、この理論の一部はTCSの視聴者がアクセスできるように十分に単純化されています。

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; これは、実際には、問題のクラスに、制約ソルバーによって考慮されるすべての連続した単純な副問題が含まれることを意味します。

$\Gamma$$\Gamma$

これまでの結果は、上記の例のように、各リレーションで一定のタプルを持つ問題にそのような問題を変えることができる、基礎となる到達可能性状態空間の一種の一般的なパワー変換があるべきであることを示しているようです。（これは現在進行中の研究の私の個人的な解釈であるとも完全に間違っているかもしれ巡回用語と代数のためのアルゴリズムのための継続的な検索が出てパン方法に応じて、ので、私はこれを撤回する権利を留保します。）これは、そこ時にすることが知られているにISN 「tは、このような変換は、その後、問題はNP完全です。現在、二分法予想のフロンティアには、このギャップを埋めることが含まれています。2011年の代数とCSPに関するワークショップの未解決の問題のリストをご覧ください。

どちらの場合でも、これはおそらくScottのリストのエントリに値します。

PTIMEの2番目のクラスを使用すると、解決策が見つかるか解決策がなくなるまで、ローカル整合性手法を適用して解決策を排除できます。これは、本質的にほとんどの人が数独問題を解決する方法の洗練されたバージョンです。私はこの理由が現在スコットのリストにも載っているとは思わない。

$\Gamma$

最後に、無限領域の場合のためにマヌエルボディスキーによって始められた多くの刺激的な仕事もあります。アルゴリズムの中には非常に奇妙に見えるものがあり、最終的にはスコットのリストにさらにエントリが追加される可能性があります。

チャンドラはそれをほのめかしているように見えますが、LP緩和の構造（例えば、全体的なユニモジュラリティによる）は、多項式につながる「構造」の普及した形だと思います。ポリタイムアルゴリズムの大規模なクラスを説明します。約束の問題が含まれている場合は、近似アルゴリズムの大規模なクラスも説明します。LPやSDPに続かない最もよくある理由のクラスは、ガウス消去法と動的プログラミングです。もちろん、簡単な説明のないホログラフィックアルゴリズムなどもあります。