型理論における有限集合の理論を形式化する

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ほとんどの証明アシスタントは、「有限集合」の概念を形式化しています。ただし、これらの形式は大きく異なります（ただし、すべてが本質的に同等であることを期待しています！）。この時点で私が理解していないのは、関連する設計スペースと、それぞれの形式化の長所と短所です。

特に、以下について理解したいと思います。

単純型理論で有限集合（つまり、有限数の住人が住む型）を公理化できますか？システムF？この方法で行うことの欠点は何ですか？
私はそれが依存型システムで「エレガントに」できることを知っています。しかし、古典的な観点から見ると、結果の定義は非常に異質であるように見えます。[彼らが間違っていると言っているのではありません！]。しかし、なぜ彼らが「正しい」のか理解できません。彼らは正しい概念を選んでいると理解していますが、「そのように言う」ことのより深い理由は私が完全に理解していないものです。

基本的に、型理論における「有限集合」の概念の形式化の設計空間への合理的な紹介をお願いします。

type-theory dependent-type finite

— ジャック・カレット
ソース

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私はそれが依存型システムで「エレガントに」できることを知っています。しかし、古典的な観点から見ると、結果の定義は非常に異質であるように見えます。

「エイリアン」とはどういう意味ですか？型集合論や集合論とまったく同じ方法で有限集合の概念を形式化しているように思えます。

$Fin(n)$

F i n (n) ≜ {k \in N | k < n}

$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$

F i n i t e (X) ≜ \exists n \in N . X ≃ F i n (n)

$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$

A ≃ B

$A \simeq B$

型理論でも、まったく同じことができます！は要素の型であることに注意してください（ペアの2番目の要素は証明に関係がないため）。次に、有限タイプのコンストラクターを次のように定義できます。ここで、は型の同型を意味します。

F i n (n) ≜ Σ k : N . i f k < n t h e n U n i t e l s e V o i d

$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$

F i n (n)

$\mathrm{Fin}(n)$

n

$n$

F i n i t e (X) ≜ Σ n : N . X ≃ F i n (n)

$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$

A ≃ B

$A \simeq B$

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

エイリアンとは、生の定義を見ただけで、それらの定義の読み方を説明するテストが付随していないためです。さらに、通常のFinの定義は帰納的に行われるため、物事がさらに不明瞭になります。あなたの短い説明は私がそれをクリックさせるために必要なものです。

— ジャックカレット2013

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ニールの答えに役立つものを追加できるかどうか見てみましょう。有限集合の「設計空間」は、「有限」のさまざまな定義が建設的に一致する必要がないため、古典的なものよりも建設的に大きくなります。型理論のさまざまな定義は、わずかに異なる概念を与えます。ここにいくつかの可能性があります。

クラトフスキーの有限集合（有限）は、自由な -semilattices として特徴付けることができます。集合、型、またはオブジェクト与えられると、自由な -semilatticeの要素は、有限サブセットとして考えられます。。実際、そのような各要素は次のように生成されます。 $K$ $\lor$ $X$ $\lor$ $K(X)$ $X$

空のセットに対応する中立要素、または $0$
シングルトンに対応するジェネレータ、または $x \in X$ $\lbrace x \rbrace$
ユニオンに対応する2つの要素の結合 $S \lor T$

の同等の定式化は次のとおりですは有限であり、と射影が存在する場合に限り、次のとおりです。 $K(X)$ $S \subseteq X$ $K$ $n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

これをニールの定義と比較すると、彼は全単射 を必要とすることがわかります。これは、決定可能な同等性を持つ有限サブセットを取ることになります：。私たちが使用してみましょう決定可能の収集のためにの-finiteサブセット。 $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$ $K$ $S \subseteq X$ $\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$ $D(X)$ $K$ $X$

明らかに、は有限結合の下で閉じられますが、有限交差の下で閉じられる必要はありません。また、はどの操作でも閉じられません。人々は有限集合が「トップのないブールaglebra」のように動作することを期待しているので、自由な一般化ブール代数（、、および相対補数）として定義することもできますが、実際にはそのような努力を聞いた。 $K(X)$ $D(X)$ $0$ $\lor$ $\land$ $\setminus$

「正しい」定義が何であるかを決定するときは、有限集合で何をしたいかに注意を払う必要があります。そして、単一の正しい定義はありません。たとえば、多項式有限の複素根の集合は「有限」の意味で何ですか。

建設的に有限を参照してください？有限性の詳細については、Thierry CoquandとArnaud Spiwackによる。教訓は、有限性は建設的に明白であることにはほど遠いということです。

— アンドレイ・バウアー
ソース

そうです、私の質問が些細なものではないことを知るのに十分なだけ知っていました。これで、有限セットを処理するCoq、Isabelle、およびAgdaライブラリーの部分を読み直して、それらが行った選択（しゃれが意図されたもの）を理解できるようになりました。

— ジャックカレット

図書館の作者が選択の余地にどれほど気づいていたのだろう。彼らはおそらく定義の1つにたどり着きました。当然のことですが、はと一致し、すべてが古典的な場合と同じようにスムーズに進行するため、は決定可能な等式があると仮定します。が決定可能な等式を持たなくなると、問題が発生します。

A

$A$

K (A)

$K(A)$

D (A)

$D(A)$

A

$A$

— Andrej Bauer

公平を期すために、プログラム検証の側面を形式化するために有限集合を使用することがよくあります。その場合、通常、決定可能な等式が成立すると想定できます。

— cody 2013