2つのサブセットの共通要素を見つける通信の複雑さ

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アリスがサブセットを受け取り、ボブがを受け取るとします。ことが約束されています。共通要素を決定する際のランダム化された通信の複雑さはどのですか？ $S \subseteq \{1,\dots,n\}$ $T \subseteq \{1,\dots,n\}$ $\lvert S \cap T \rvert = 1$ $S \cap T$

これに対する私の興味は次のとおりです。この問題のゼロ・通信コストは、アリスとボブはちょうど推測することができるので公共のコインを使用して、彼らは間違っていると思いアボート場合。ただし、コストの通信プロトコルは考えられません。ゼロ通信コストが無作為化通信コストよりもはるかに安いかどうかは分からないので、ここで明らかなものがないと思います。 $\log n$ $S \cap T$ $O(\log n)$

通信コストゼロは次のように定義されます。アリスとボブは入力を受け取った後、まったく通信してはなりません。しかし、彼らは公共のコインを共有し、「中止」で答えることが許可されています。どちらの当事者も中止しない場合、確率で正しい答えを提供する必要があります。通信コストゼロは、中止しない確率の負の対数です。arXivの：1204.1505ほとんどすべての通信の複雑さに下限が実際にゼロの通信のための下限であることが知られているもの（とりわけ）が示されています。 $2/3$

更新：@Shitikanthは、通信の複雑さが。したがって、これは明らかに通信コストとゼロ通信コストの間にギャップを与えます。しかし、arxiv：1204.1505は、そのようなギャップが知られていないという印象を与えるようです。何が欠けていますか？ $\Omega(n)$

communication-complexity

— ダン・スターク
ソース

1

「アリスとボブはパブリックコインを使用してを推測し、推測が間違っている場合は中止することができます。」Zero-Communicationプロトコルの定義により、アリスとボブが推測した後で中止することはできないと思います。両方が答える場合は、高い確率で勝つ必要があります。

S \cap T

$S\cap T$

— Shitikanth 2013

1

ずさんな言語でごめんなさい。明確にするために、彼らは公共のコインを使用してを選択します。場合はアリスが中止さ場合はボブが中止さます。どちらの当事者も中止しない場合、彼らはと答えます。このような仕掛けは、「推測」と呼ばれることもあります。

i \in {1, \dots, n}

$i \in \{1,\dots,n\}$

i \notin S

$i \not\in S$

i \notin T

$i \not\in T$

i

$i$

— Dan Stahlke 2013

私はあなたが今何を意味するかを理解しています。ただし、これはこの問題で考えられるゼロ通信プロトコルの1つにすぎません。著者らは、確率中止される別のプロトコルについて説明しています。

2^{- O (n)}

$2^{-O(n)}$

— Shitikanth 2013

arxiv：1204.1505は、（入力に対して）一様なアボート確率を使用したゼロ通信（ZC）プロトコルのコストが、限界通信コストを下げるために使用されているほぼすべての既知の技術によって下限があることを示しています。私が言及したプロトコルには、コストがかかり

ます。

\log n

$\log n$

— Dan Stahlke 2013

回答:

5

（集合バラバラからの削減）

保証されているアリスとボブにセットが与えられているとします。アリスとボブは、と共通要素を見つけるためのプロトコルを実行して、それらのセットに共通要素を決定するための重要な交差があると仮定します。これで、が実際にと両方にビットで共通であることを確認するために、相互に通信できます。 $S, T \subseteq [n]$ $|S\cap T| \leq 1$ $S$ $T$ $X$ $X$ $S$ $T$ $O(\log n)$

したがって、共通の要素見つけるための任意のプロトコル及び取る必要があり通信のビット。 $S$ $T$ $\Omega(n)$

— シチカント
ソース

はい、もちろん、ありがとう！答えはばらばらであるべきだと知っていましたが、それを見ることができませんでした。ただし、質問を終える前に、通信コストと通信コストゼロの間の明らかなギャップについて誰かがコメントしたかどうかを確認したいと思います。

— Dan Stahlke 2013

通信コストゼロとはどういう意味かわかりません。リンクまたは参照を提供できますか？

— Shitikanth 2013

質問を論文へのリンクで更新し、ZCコストの定義も提供します。

— Dan Stahlke 2013

明確な頭でもう一度考えてみると、このバラバラへの削減は実際には機能しません。プロトコルのみから何かを答えるために必要とされる

際に

。また、質問を変更して任意を許可することはできません

です。打ち切り確率を均一にしたいからです。これがZCとRの間の明らかなギャップの原因なのかどうか、私にはわかりません。

S \cap T

$S \cap T$

| S \cap T | = 1

$\lvert S \cap T \rvert = 1$

| S \cap T | > 1

$\lvert S \cap T \rvert > 1$

— Dan Stahlke 2013

2

@DanStahlke Razborovの結果として、一意の集合のばらばらさのランダム化された通信の複雑さも

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Sasho Nikolov 2014

1

：あなたの問題のは判断のバージョンはfolowing形式で書くことができるこれは、内積と非常に類似している

E Q (s_{1}, t_{1}) \lor E Q (s_{2}, t_{2}) \lor \dots \lor E Q (s_{n}, t_{n}) .

$EQ(s_1,t_1)\lor EQ(s_2,t_2)\lor \dots \lor EQ(s_n,t_n).$

x_{1} y_{1} \lor x_{2} y_{2} \lor \dots \lor x_{n} y_{n} .

$x_1y_1\lor x_2y_2\lor\dots\lor x_ny_n.$ 平等は一定のランダム化された通信コストで実行できるため、これら2つの問題の通信の複雑さは同等です。

また、発見よう問題のは判断バージョンとしてハードとして少なくともです。したがって、1つの句のみが満たされている場合、問題はを解くのと同じくらい困難です。私には直接の証明はありませんが、直感により、満足のいく条項が1つしかないは一般的なと同じくらい難しいとます。したがって、私が間違っていなければ、問題のランダム化された複雑さはになります。 $i$ $s_i=t_i$ $IP$ $IP$ $IP$ $\Theta(n)$

これがお役に立てば幸いです。

— フィリップ・ラモンターニュ
ソース

-3

私が考えることができる最速のプロトコルは、ランダムに隣接する要素のペアを交互に交換して、スキップされたものを破棄することです。

アリス[1,10,26,49,50]ボブ[2,3,25,49,51]

アリスの隣接ペアは[10,26]なので、ボブは25を捨てます

アリス[1,49,50]ボブ[2,3,49,51]

ボブの隣接ペアは[3,49]で49と一致するため停止

— チャドブリューベーカー
ソース

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