Coqの2つの引数に帰納的に関数を定義する方法は？

以下に示す再帰関数が終了することをCoqに納得させるにはどうすればよいですか？この関数は、2つの帰納的引数を取ります。直感的に、どちらかの引数が分解されるため、再帰は終了します。

具体的には、この関数は入力として2つのツリーを取ります。

Inductive Tree :=
| Tip: Tree
| Bin: Tree -> Tree -> Tree.

Treesでは、次のスタイルの誘導を行うのが好きです。

Inductive TreePair :=
| TipTip : TreePair
| TipBin : Tree -> Tree -> TreePair
| BinTip : Tree -> Tree -> TreePair
| BinBin : TreePair -> TreePair -> TreePair.

Fixpoint pair (l r: Tree): TreePair :=
  match l with
    | Tip =>
      match r with
        | Tip => TipTip
        | Bin rl rr => TipBin rl rr
      end
    | Bin ll lr =>
      match r with
        | Tip => BinTip ll lr
        | Bin rl rr => BinBin (pair l rl) (pair lr r)
      end
  end.

TreePairの定義は受け入れられますが、関数ペアの定義はエラーメッセージを生成します。

Error: Cannot guess decreasing argument of fix.

だから私はCoqに終了を納得させる方法に興味があります。

Coqのフィックスポイント定義では、誘導呼び出しが構造的により小さい引数を受け取る必要があります。深く、フィックスポイント構造は単一の引数を取ります。2つの引数に対する再帰的な定義の組み込みの概念はありません。幸いなことに、構造的に小さいという Coqの定義には高次型が含まれており、これは非常に強力です。

2引数のフィックスポイント定義は単純なパターンに従います。最初の引数が小さくなるか、最初の引数が同一のままで2番目の引数が小さくなります。このかなり一般的なパターンは、単純な修正で修正できます。

Fixpoint pair l := fix pair1 (r : Tree) :=
  match l with
    | Tip => match r with
              | Tip => TipTip
              | Bin rl rr => TipBin rl rr
            end
    | Bin ll lr => match r with
                    | Tip => BinTip ll lr
                    | Bin rl rr => BinBin (pair1 rl) (pair lr r)
                   end
  end.

より複雑なケースでは、あなたの好みは、その方法を実行した場合、または、あなたがステップの計算から不動点を構築し、近いそれは数学の授業で教えられています道に再帰を使用することができ、別のよくfoundedness引数を頻繁に使用して、整数の対策を。また、Program用語を使用して、別の終了を使用して、完全ではない言語の古典的なプログラムのように定義を表示することもできます。