安定結婚問題への拡張？

これは、TCSよりも社会科学の質問のように聞こえるかもしれませんが、そうではありません。安定結婚問題を説明する「ランダム化アルゴリズム」を読むとき、次のように読むことができます（p54）

「選好リストの選択ごとに少なくとも1つの安定した結婚が存在することを示すことができます（不思議なことに、これは偶数の住民がいる同性愛の一夫一婦制社会の場合ではありません）。

同性愛一夫一婦制社会、または人口の特定のサブセットがより大きなセットとは異なるルールのセットに従う社会を含むある種の定常状態を可能にする安定結婚問題の非常に単純な拡張はありますか？

肯定的に、そのようなマッチングを実行するアルゴリズムはありますか？

3種類の人々に関する公開予想があります。男性に女性の嗜好リストがあり、女性に犬の嗜好リストがあり、犬に男性の嗜好リストがあるように、男性と女性がいるとします。常に安定した結婚はありますか？

（3タイプ社会に関する他の選好構造については、答えは否定的であることが知られています）。

別のコメントは、安定した結婚は空でない核を表し、空でない核の存在を暗示するスカーフによるよく知られた条件があるということです。スカーフの条件は、元の安定した結婚の問題と家の割り当ての問題について満たされていることが知られています。（しかし、男性/女性/犬の問題のために失敗しました）。

いくつかの参照：

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• スカーフの重要な補題のさまざまなアプリケーションを示す論文と、他のかなりの数の引用：（特に、アハローニとホルツマンによる超グラフのゲール・シャプリーの定理の分数版が説明されています）：R.アハローニとT.フライナー、補題スカーフ、J。コンビンの。理論Ser。B 87（2003）、72--80。
• Eriksson et al（Math Soc Sci 2006）の論文には、各性別が最大4人の場合の男女の問題の解決策が示されています。

あなたが求めていることは、もはや「安定結婚問題」と呼ばれていません。対照的に、「安定したルームメイトの問題」と呼ばれます。ウィキペディアによると：

数学、特にゲーム理論と組み合わせ論の分野では、安定したルームメイト問題（SRP）は安定したマッチングを見つける問題です。ペアのもう一方がマッチよりも優先されます。これは、安定したルームメイトの問題では、セットを男性と女性のサブセットに分割する必要がないという点で、安定した結婚の問題とは異なります。誰でも同じセットの誰でも好むことができます。

一般的に次のように述べられています：

Stable Roommates問題（SRP）の特定のインスタンスでは、2n人の参加者のそれぞれが、他の参加者を厳密な優先順位でランク付けします。マッチングは、n個の素な（順序付けられていない）参加者のペアのセットです。SRPのインスタンス内の一致するMは、2人の参加者xとyがなく、それぞれがMのパートナーよりも相手を好む場合、安定しています。このようなペアは、Mをブロックする、またはM.

ウィキペディアはあなたの質問への答えを議論します。安定したケースが常に見つかるとは限らないが、アーヴィング（1985）による効率的なアルゴリズムが存在するため、そのようなマッチングがあればそれを見つけます。

編集：

SRPにはいくつかの自然なリラクゼーションが考えられます。「2人の参加者xとyは存在せず、それぞれがMのパートナーよりも相手を好む」ことを要求する代わりに、以下を要求できます。

1. 少なくとも一部の人々はルームメイトに満足しています。ここで、充足可能性の解釈は異なります。例えば：
   • ペア（x、y）は、yがxの最初の選択である場合に満たされると言われ、逆も同様です。
   • ペア（x、y）は、xまたはyのいずれかが別の最初の選択である場合に満たされると言われます。
   • ペア（x、y）は、xがyよりもzを好み、zがwよりもxを好むペア（z、w）が存在する場合、不満足と言われます。
   • ...
2. せいぜい特定の割合の人々は、ルームメイトに満足していません。（この要件は、充足可能性の解釈に応じて上記と異なる場合があります。）

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