平等ではなく陽性のテスト

アリスとボブはnビットの文字列を持っているので、ほとんど通信をせずに等しいかどうかを調べたいと考えています。標準ランダム化溶液は、程度の多項式としてnビットの文字列を処理することである、次によりも大きなサイズのフィールドから数ランダムに選択された要素上の多項式を評価。これには、通信が必要です。 $n$ $n$ $O(\log |F|)$

代わりに、文字列の辞書式順序を修正し、代わりにどの文字列が「大きい」かを判断したいとします。これは、文字列が異なる左端のビットを見つけることに相当します。

これを行うための同様のランダム化プロトコル、または既知の下限がありますか？これは、多項式の陽性のテストに関連しているようです。

ps辞書の順序は最も明白なように見えますが、他の順序でも構いません。興味のある目的のために、必要なのは何らかの順序だけです。

communication-complexity property-testing

— スレシュ・ベンカット
ソース

標準のランダム化ソリューションは、ビットのランダムな線形結合を選択し、結果のパリティを送信することで、

通信のみを使用することだと思いましたか？

O (1)

$O(1)$

— ジョシュアグロチョウ

@JoshuaGrochowそれはランダム性の性質に依存すると思います-パブリックまたはプライベート。あなたが言及するプロトコルは、公開ランダム性を使用します。

— サショニコロフ

比較のために、決定論的な複雑さは

であるため、簡単なプロトコルが最適であることに言及する価値があるでしょう。これにより、決定論的/正確なソリューションとランダム化されたソリューションの間に優れた指数関数的なギャップが与えられ、（少なくとも通信の複雑さにおいて）ランダム性が本当に役立つことが示されます。

n + 1

$n+1$

— アンドラスサラモン

ええと...ええ。

$\:$ 間違った答えを決して与えず、すべての入力ペアに対して、最大で1/2の確率でその入力ペアにMAYBEを与えるアルゴリズムには、どれくらいの通信が必要ですか？

おそらく、

ラウンドの通信の複雑さは

よりも大きい、つまり

に対して線形であることに言及する価値があるかもしれません。arxiv.org/ abs / cs / 0309033を参照してください。それはいい紙です:)

k

$k$

Ω (n^{1 / k} k^{- 2})

$\Omega(n^{1/k}k^{-2})$

k = 1

$k=1$

— マークベリー

回答:

これは、通信の複雑さにおける大問題として知られています。通信の複雑さを持つアルゴリズムが存在します（Nisan-Kushilevitz本の演習3.18）。 $O(\log n)$

編集：アルゴリズムは、Nisan（ページ10）によるものです：http ://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.57.6891&rep=rep1&type=pdf

以下の@Sasho Nikolovによって提案されたアプローチを使用します---比較を行うために一定のエラーで等値テストを使用してバイナリ検索を実行します。これは、で行うことができる：Feige、ペレグ、ラガワンとUpfalによって「ノイジーバイナリ検索アルゴリズム」を使用して照会http://cs.brown.edu/~eli/papers/SICOMP23FRPU.pdf $O(\log n)$

（明示的ではない）プライベートランダムプロトコルを取得するには、Newmanの結果を適用できます：http : //pdf.aminer.org/000/933/113/private_vs_common_random_bits_in_communication_complexity.pdf

— グリゴリー・ヤロスラフツェフ
ソース

\log n

$\log n$

O (1)

$O(1)$

O (\log n \log \log n)

$O(\log n \log \log n)$

O (1 / \log n)

$O(1 / \log n)$

O (\log \log n)

$O(\log \log n)$

@SashoNikolov OK、このようなものは「ノイズのあるバイナリ検索」として使用できます。これは、一定のエラー率を許容するため、等式テストで一定のエラー確率を使用できます：dl.acm.org/citation.cfm？ id = 167129-

— グリゴリーヤロスラフ

本当。各比較で小さな一定の確率で誤った結果が得られるバイナリ検索を意味しました。この論文は、たとえばdl.acm.org/citation.cfm?id=100230

— Sasho Nikolov

議論を答えに移しました。

— グリゴリーヤロ

加算の通信の複雑さを参照してください。

$O(\log n)$

— マヌ
ソース