、

数値を入力として使用し $[0,1]$ 、関数 $\max(x, y)$ 、 $\min(x, y)$ 、 $1 - x$ 、およびで構成されるゲートを持つ回路を考えます $\frac{x+y}{2}$ 。回路の出力も数値になり $[0,1]$ ます。

このモデル、または密接に関連するモデルが研究されているかどうか誰もが知っていますか？

具体的には、この回路の充足可能性の問題を解決しようとしています。つまり、この回路で達成できる最大値を計算しています（コンパクト領域で連続関数を表すため、実際に最大値に達します）。

注：このモデルの私の研究は、重み付けされた時相論理によるものであるため、後者に関連するモデルも役立つ場合があります。

arithmetic-circuits

— シャール
ソース

確かにこの問題はNP困難です。（満足度によって：

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$ と

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$ があり、AND、OR、およびNOTを実行できます。）この問題はNPにあるのかどうか？そのような回路に値1をもたらす入力があるかどうかの決定問題は、NPにあるようです。なぜなら、そのような入力があれば、0/1の入力があるからです。

— ニールヤング

可能な真理値いずれかを非決定的に選択した場合、はすべてのノードのペアで、またはノードが回路では、これは線形計画問題になり、Pで解決できます。したがって、元の最大化問題の決定バージョンはNPにあります。（これは、Łukasiewiczロジックの充足可能性問題の変形です。関連情報については、数学ファジィロジックのハンドブックのハニコバの章を参照してください。）

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— EmilJeřábek3.0

@Shaull：詳細を説明します。ましょう minまたはmaxゲート（ここであり、回路のノードであり回路のサイズによって制限される）、およびletとゲートの入力ノードである。ごとに、追加の制約またはます。そのような選択肢はあります。そのような選択が修正されると、をまたは置き換えることで回路を簡素化できます。

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$ 必要に応じて、その変数が問題の元の変数である線形方程式のシステムになり、...に対応する追加の変数が...

— EmilJeřábek3.0

...回路内のノード。追加の制約が満たされていることを示す不等式、元の変数をに制限する不等式、および出力ノードの値があるという不等式を含めます。次に、これは追加の制約の選択に依存する線形プログラムであり、回路は値ます。、関連する線形プログラムに解があるような制約の選択が存在する場合に限ります。

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— エミールイェジャベク3.0

また、線形プログラムの最適値は、ポリトープの頂点で得られることに注意してください。つまり、最適解の分母は、次元行列の行列式として表現でき、そのエントリは定サイズの整数であり、各行には0 0非ゼロエントリしかありません。区切られています。

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— エミルイェジャベク3.0

回答:

これらの回路の充足可能性の問題（つまり、回路と与えられ、ような入力がNPにあるかどうかを判断します。したがって、NP完全ニール・ヤングのコメントとピーター・ショーの答え。 $C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

次の方法で、線形計画法への問題の非決定的削減を構築できます。ましょうのすべてのノードである minまたはmaxゲート（現在地であり、ここで回路のサイズである）、およびletとゲートの入力ノードである。ごとに、2つの追加の制約またはいずれかを選択します（合計で選択肢があります）。そのような選択が固定されている場合、各をまたはで置き換えることにより、回路を単純化できます。 $\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ 必要に応じて、結果の回路は、変数が回路の元の入力変数である線形方程式のシステムと、回路のノードに対応する追加の変数で記述できます。 $n$

また、追加の制約が満たされていることを示す不等式、元の入力変数をにする不等式、および出力ノードの値があるという不等式を含めます。次に、これは追加の制約の選択に応じたサイズ線形プログラムであり、関連付けられた線形プログラムに解があるような制約の選択が存在する場合、回路は値になります。線形計画法はPであるため、これは問題がNPにあることを示しています。 $m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

また、線形プログラムの最適値は、ポリトープの頂点で得られることに注意してください。これは、最適解の分母が、次元正方行列の行列式として表現できることを意味します。そのエントリは、一定サイズの整数であり、各行には非ゼロエントリのみがあります。区切られています。 $O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

この種の削減は、命題ファジィ論理（（ukasiewicz論理など）および関連システムの充足可能性の複雑さに上限を与えるためにしばしば有用です。（実際、元の問題は、Łukasiewiczの充足可能性のマイナーなバリアントであり、ではなく持つ回路に対応します。）関連する結果の概要を見つけることができます。数学的ファジィ論理ハンドブックVol。II。 $\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— エミル・イェジャベク3.0
ソース

この問題はNPハードです。

ゲートmin（x、y）、max（x、y）および1− xで 3-SATを取得できます。

私たちが望んでいるのは、3-SAT問題を、すべての変数が満たされる場合に1を取得できる回路に還元することです。

最小限の多くの式を使用して、すべての変数を強制的に0または1にし、これらの式にmax（x、1− x）を含めることができます。

今、3-SAT問題におけるすべての句のためのx ∨ yの ∨ Z、我々は、発現置く最大（X、Y、Zを最小に）。

満足できない3-SAT問題に対する最適な値はわかりませんが、厳密には1未満になります。

— ピーター・ショー
ソース

はい、上記のコメントで指摘したように、NP硬度は「簡単な方向」です。実際、平均ゲートを使用せず、最小値と最大値のみを使用する場合、対応するブール回路が充足可能であれば最大値が1であり、そうでない場合は1/2（すべてに1/2を差し込むだけで）を示すのは簡単です変数）。とにかく、問題は上記のコメントで解決されました。

— シャール

まさにあなたが求めたものではなく、同様の回路が現れる状況。

ゲート（タイトルにも記載されていません！）を削除すると、モノトーン演算回路が得られます。Razborovの古典的なモノトーン回路の下限は、解像度と切断面の証明の下限である PavelPudlákによって、モノトーン演算回路に拡張されました（同じ結果になります）。 $1-x$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

ありがとう。あなたが削除する場合しかしながら、この場合、ゲートを、問題は簡単です-最大値は1で、すべての変数は値1を得るとき、それが達成されます

1 - x

$1-x$

— Shaull