理論計算機科学における複雑な分析

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理論的コンピューターサイエンスには、プロパティテスト、通信の複雑さ、PAC学習、その他の多くの研究分野をカバーする実際の分析の多くのアプリケーションがあります。ただし、TCSで、複雑な分析に依存する結果を考えることはできません（量子計算の外では、複素数はモデルに固有です）。複雑な分析を使用する古典的なTCS結果の例はありますか？

soft-question big-picture

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いい質問です！私が知っている限りでは、有限次元システムになりがちな量子計算よりも、数論に関連する結果-例えばリーマン仮説の使用-を除外する方が良いと思います。

— コリンマッキーラン

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我々は、最大化の問題のための近似アルゴリズムを与える（TCSの観点から）紙「グロタンディーク定数はKrivineのバウンドよりも厳密に小さい場合、」複雑な分析を使用

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$ に被写体を

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$ 。ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

— Yury

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@Yuryそれは非常によく答えになる可能性があります。

— スレシュヴェンカト

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永続的な多項式時間アルゴリズムを近似して、単純な指数関数内でパーマネントと混合判別式を近似するためのBarvinokの複素数ベースのアルゴリズム。

また、明らかに、複雑な演算子（およびいくつかの複雑な分析）は量子コンピューティングにおいて重要です。

この本もお勧めします。EitanBachmatによるパフォーマンス分析のトピックで、関連する多くの重要な問題やその他の素晴らしいものがあります。

— ギル・カライ
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それは素晴らしい例です、私はこの結果を知りませんでした-ありがとう！

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それは単一の問題ではありませんが、分析的組み合わせ論の全分野（FlajoletとSedgewickの本を参照）は、適切な生成関数を書き留めて構造を分析することにより、~~カウント~~構造（またはアルゴリズムの実行時間）の組み合わせの複雑さを分析する方法を探ります複雑なソリューションの。

— スレシュ・ベンカット
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こんにちはSuresh、「複雑さの分析」とはどういう意味ですか？

— アンディドラッカー

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ああ、私は間違って書きました。私は「構造の組み合わせの複雑さを分析する」ことを意味しました-修正します。

— Suresh Venkat

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Jon Kelnerは、2004年に「有界属のグラフのスペクトル分割、固有値境界、および円パッキング」でSTOC Best Student Paper Awardを受賞しました。

要約から引用します。

主な技術的補題として、このようなグラフのラプラシアンの2番目に小さい固有値のO（g / n）境界を証明し、これが厳密であることを示し、それによってスピルマンとテンの推測を解決します。この補題は本質的に本質的に組み合わせですが、その証明は、円パッキングの理論とコンパクトなリーマン面の幾何学に基づいた連続数学から来ています。

複雑な分析（およびその他の「連続」数学）を使用して「従来の」グラフセパレーターの問題を攻撃することは記憶に残るものであり、この研究が私の研究とはまったく関係ないにもかかわらず、この論文が頭に残った主な理由です。

— ムギジ・ルウェバンギラ
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証明で直接使用される複雑な分析にもっと興味があるかもしれません。ただし、現在参加している大学院レベルのアルゴリズムクラスの2つの例を次に示します。

a）高速フーリエ変換。たとえば、多項式乗算で使用されます。実装はモジュロ算術または浮動小数点（およびいくつかの算術分析）を使用して行うことができますが、証明は複素数とそのユニティーのルートに関して最もよく理解されます。私はこのテーマを詳しく調べていませんが、FFTにはさまざまな用途があることを知っています。

b）一般に、RAMモデルに一定の時間で複素数を処理する機能を実装すると（実数部と虚数部の精度は依然として有限です）、問題を巧妙にエンコードし、解決策を明らかにする可能性のある複素数のプロパティを活用できます（参照また、なぜこれで高速化できないのかというコメントもあります）。

— チャジソップ
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2番目の観測の例はありますか？一定時間の操作で標準RAMに「複雑なO（log n）ビット整数」クラスを追加するのは簡単です。または、「より速く」とは、「2倍速く」という意味ですか？

— ジェフ

これは講義の演習でした：「乗算、除算、加算、減算ごとの単位コストで複素数を計算できる拡張RAMを扱っていると仮定します。さらに、aの絶対値| c |も計算できます。さらに、複素定数0、1、およびiを「認識」します。このような拡張RAMで正の整数nが与えられると、数値n！は

時間。このソリューションでは、多項式乗算を使用しています。これは、標準のRAMモデルよりも高速であることがわかっているからです。

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

提案されたアルゴリズムには、一定時間の無限精度の実数演算が必要です。（

ビットワードを持つマシンを使用して、

時間で

ビット整数を計算することはできません。出力を書き留める時間すらありません！）問題は、複素数そのものではなく、平方根を実際のRAMモデルに追加することです。

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ジェフ

コメントをありがとう、とても啓発的です。複雑な数の問題を巧妙にエンコードするという部分、つまり、そうでなければ見逃してしまう解決策を見るという部分に対する答えを更新する必要があると思います。

— -chazisop

6

おそらくこのアプリケーションはTCSとDisc mathの中間にあるかもしれませんが、Petr Savicky（http://www2.cs.cas.cz/~savicky/ papers / symmetric.ps）。定理はブール関数のみに関するものですが、証明の1つは複素数を使用します。

— マグナス検索
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論文「線形しきい値述語の近似」の主要な技術ツールとして、複雑な分析からのコーシーの剰余定理を使用します。

— MCH
ソース

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Koebe-Andreev-Thurston円パッキング定理は、リーマンマッピング定理に由来し、さまざまなアルゴリズムの側面を持っています。例えば、平面グラフのリプトン・タージャンの分離定理の証明を提供します。

— ギル・カライ
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オーブンから新鮮な：

損失の多い人口回復のための多項式時間アルゴリズム By：Ankur Moitra、Michael Saks

論文からの引用：「ここで、複雑な解析のツールを使用して、前のセクションで述べた不確実性の原理を証明します。 ..」

— ギル・カライ
ソース

この論文で3円定理がどのように使用されているかを簡単に説明します。いくつかの線形制約を満たす量

を最小化するために、彼らはこのLPの双対を調べます。多項式の係数としてデュアル変数を見、これは最大化と同等となる

上のすべての次数

ポリゴンの

満たす

れる

アフィン変換とで構成

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ は、係数のabs値の合計を示します。

— arnab

（続き）次に、きれいな観察をすることである

ここで

我々は、この緩和を使用する場合は半径1の複素平面の単位円板であり、問題は、に帰着しました最大限

に被写体

によって囲まれている

内部の小さなディスク上に

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ 。座標変換を行うと、3円定理の設定になります。正則関数は、2つの同心円の点に制限され、中間半径の任意の円に関数を制限します。

— arnab

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

5

このペーパーのセクションA.4では、複雑な分析を使用して、Indykのアルゴリズムのランダム化を解除します。 $\ell_p$ データストリームの推定（ $0 < p < 2$ ）最適なスペース保証を提供します：

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff. On the Exact Space Complexity of Sketching and Streaming Small Norms. SODA 2010.

You can get away with writing a proof that doesn't mention complex analysis explicitly (see the first bullet in the "notes" section for that paper on my webpage), but even that proof has complex analysis lurking under the covers.

— Jelani Nelson
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There is use of complex numbers and analysis in a recent paper by Naor, Regev and Vidick, yielding results in approximation algorithms for NP-hard optimization problems: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— Clement C.
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Yet another paper that makes use of random roots of unity is Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald, and He Sun. Counting Arbitrary Subgraphs in Data Streams. ICALP 2012.

— Jelani Nelson

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Recently Vishnoi gave an algorithm which finds TSP tours of length at most $n + O(n/\sqrt{k})$ in a $k$ -regular simple graphs (talk & blog). The analysis crucially uses the van der Waerden conjecture (aka the Egorychev-Falikman theorem): the permanent of any doubly stochastic $n \times n$ matrix is at least $n!/n^n$ . Egorychev and Falikman's proofs used deep results in convex geometry (in particular the Alexandrov-Fenchel inequality). On the other hand, a recent proof by Gurvits uses only elementary complex analysis and is quite a gem (nice presentation by Laurent and Schrijver in the MAA Monthly). Leaving the real line for the complex plane seems essential to Gurvits's proof and simplifies matters a lot.

— Sasho Nikolov
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there is some research showing undecidability associated with various aspects of computation of the Mandelbrot set, a famous, prototype fractal which is computed using complex numbers and counting the number of iterations associated with the equation $z \leftarrow z^2 + c$ to reach an unbounded increasing sequence. a detailed account and survey can be found in [1], which appeared in a physics journal but with heavy use of TCS concepts eg Turing Machines etc. an early ref [2] by Blum concludes that the Mandelbrot set is not decidable.

[1] Inaccessibility and undecidability in computation, geometry, and dynamical systems Asaki Saito, Kunihiko Kaneko

[2] A theory of computation and complexity over the real numbers Lenore Blum, 1990

— vzn
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Nister, Hartley, and Stewenius used Galois theory to prove the optimality of certain algorithms in computer vision. While not specifically an instance of Complex Analysis, this work is intimately associated with $\mathbb{C}$ because of the fundamental theorem of algebra.

— Reb.Cabin
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