正のトポロジカル順序付け、テイク2

これは、David Eppsteinの最近の質問へのフォローアップであり、同じ問題に動機付けられています。

頂点に実数の重みを持つDAGがあるとします。最初は、すべての頂点にマークが付いていません。マークされた頂点のセットを変更するには、（1）マークされていない先行のない頂点をマークするか、（2）マークされた後続のない頂点をマーク解除します。（したがって、マークされた頂点のセットは常に半順序のプレフィックスです。）マークされた頂点の総重量が常に非負になるように、すべての頂点がマークされて終了する一連のマーク/マーク解除操作を見つけたい。

• このような一連の操作を見つけるのはどれほど難しいですか？Davidの問題 とは異なり、この問題がNPにあるかどうかは明らかではありません。原則として（例はありませんが）、すべての有効なムーブシーケンスは指数関数的な長さを持ちます。私が証明できる最善のことは、問題がPSPACEにあることです。

• マーク解除操作は実際には不要ですか？ 有効な移動シーケンスがある場合、頂点のマークを解除しない有効な移動シーケンスが必要ですか？肯定的な答えは、この問題をデイビッドの問題と同一にします。一方、マーク解除が必要な場合は、それを証明する小さな（一定サイズの）例が必要です。

666の定期的な研究セミナーで、次の証拠を思いつきました。

いくつかの定義から始めます。Pをポーズにします。簡単にするために、重みの合計がゼロにならないと仮定します。頂点の重みをw（x）で表し、セットの重みの合計をw（X）で表します。セットXは、Yに含まれている場合はYアップ（閉じている）であり、Xの要素よりも大きいYのすべての要素もXにあると言います。同様に、セットXはYダウンであると言いますはYに含まれ、Xの要素よりも小さいYのすべての要素もXに含まれます。この言語では、マークされた要素のセットは常にP-downでなければなりません。

矛盾によって証明します。すべての要素をマークする最短のマーク/マーク解除シーケンスを使用します。このようなシーケンスを完全と呼びます。どの時点でも、以前はマークされていたが現在はマークされていない要素のセットを検討します。このセットをUで示す

クレーム：w（U）> 0。

証明：UアップセットXの重みが正であることを証明します。証明は、Xのサイズの帰納法によるものです。w（Y）> 0のようなXダウンセットYがある場合、帰納法によってw（X \ Y）> 0（ X-up）、w（X）> 0もあります。XダウンセットYごとにw（Y）<0があり、この時点までシーケンスのXの要素のすべてのマークとマーク解除を削除することにより、より短い完全なシーケンスが得られます。クレームの証明はこれで完了です。

ここで、現在マークされていない要素のセットUの任意のポイントでw（U）> 0である完全なシーケンスがあるとします。すべての要素の最初のマーキングを取得し、何もマーク解除しないことにより、これから取得したシーケンスを取得します。これは、マークされた要素のセットが常にP-downであることを満足させる完全なシーケンスであることも明らかです。さらに、重みの合計は常に、少なくとも元のシーケンスと同じになります。これは、常に、差がw（U）であるためです。できました。

この方法では、P全体をマークする代わりに、Pのサブセットのみをマークしたい場合、一連のマークとその後に続くマーク解除を行うことで証明できることさえ証明できます。証明は、最後にいくつかの要素Uがマークされないことを除いて同じですが、Uアップセットの重みが正の場合、これらはシーケンスの最後に移動できます。